[論文レビュー] Local unitary representations of the braid group and their applications to quantum computing

Colleen Delaney, Eric C. Rowell+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ジョーンズ多項式を用いたユニタリブレード群表現の初歩的導入を提供し、トポロジカル量子計算におけるその役割を確立する。r = 1,2,3,4,6を除く単位根におけるジョーンズ表現が、普遍的量子計算を可能にし、ジョーンズ多項式の効率的な量子近似を可能にすることを示している。特にk=1,2,4における明示的な局在化は、物理的実装にとって鍵となる。

ABSTRACT

We provide an elementary introduction to topological quantum computation based on the Jones representation of the braid group. We first cover the Burau representation and Alexander polynomial. Then we discuss the Jones representation and Jones polynomial and their application to anyonic quantum computation. Finally we outline the approximation of the Jones polynomial and explicit localizations of braid group representations.

研究の動機と目的

• ブレード群表現を用いたトポロジカル量子計算の数学的基盤へのアクセス可能な導入を提供すること。
• ブレード群のジョーンズ表現とトポロジカルな物質相における任意子的量子計算との間の関係を確立すること。
• q = e^{±2πi/r} で r ≠ 1,2,3,4,6 の場合、ジョーンズ表現が普遍的量子計算を可能にすることを示すこと。
• ジョーンズ多項式が古典的には#P困難であるにもかかわらず、量子コンピュータによって効率的に近似可能であることを示すこと。
• 物理的実装に不可欠なレベルk=1,2,4におけるブレード群表現の明示的局在化を提供すること。

提案手法

• テンペリー＝ライブ＝ジョーンズ理論およびフォン・ノイマン代数から導かれるユニタリ表現としてのジョーンズ表現を用いる。
• 古典的先行研究としてバールー表現を適用し、アレクサンダー多項式と関連付けることで、量子ケースの動機を提示する。
• ユニタリモジュラー圏（UMC）およびトポロジカル量子場理論（TQFT）を用いて、任意子と編み込みの数学的構造を形式化する。
• 特定の融合規則とブレアティ図を用いたカテゴリカルモデルにより、レベルk=2およびk=4におけるジョーンズ表現の明示的局在化を構築する。
• カテゴリにおけるホム空間を用いて、TLJ_n(A)の既約表現の次元公式を導出する。ここで量子次元と単位根を用いる。
• カテゴリにおけるバーティング演算子c_{X,X}を用いて、任意子のテンソル積へのブレード生成子の作用を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位根におけるジョーンズ表現が、普遍的量子コンピュータを構築するために使用可能か？
• RQ2 古典的には#P困難に分類されるジョーンズ多項式が、量子コンピュータによって効率的に近似可能か？
• RQ3 ジョーンズ表現が物理的で有限次元の量子系に局在化できる条件は何か？
• RQ4 UMCにおける任意子の融合規則と量子次元が、ブレード群表現の構造にどのように寄与するか？
• RQ5 どのレベルkに対してジョーンズ表現が局在可能であり、それが普遍性とどのように関係するか？

主な発見

• r ≠ 1,2,3,4,6 の場合、q = e^{±2πi/r} におけるジョーンズ表現は、定理1.1で示されるように普遍的量子計算モデルを生成する。
• 任意の整数r ≥ 1におけるジョーンズ多項式は、量子コンピュータによって多項式時間で効率的に近似可能であり、定理1.2によるものである。
• レベルk=1,2,4におけるジョーンズ表現の明示的局在化が達成されており、特にイジング理論（k=2）とランク5のカテゴリ（k=4）が具体的なモデルを提供する。
• 奇数nに対して、XのHom(X, X^{igotimes n})の次元は(3^{(n-1)/2} + 1)/2、X'に対しては(3^{(n-1)/2} - 1)/2であり、指数関数的増加が示される。
• ジョーンズ表現が局在可能であるのはk ∈ {1,2,4}に限られ、普遍性が成立するのは表現が局在可能でない場合に限る。
• レベルk=4における行列Rは、9次元空間におけるブレード群表現の完全な明示的局在化を提供する。