[論文レビュー] Local well-posedness for the great lake equation with transport noise

Dan Crisan, Oana Lang|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、浅水域の力学にインspiredされた重み付き非圧縮性条件の下で、2次元トーラス上における輸送ノイズを伴う確率的グレートレイク方程式の局所的well-posednessを確立する。一般化された渦度から流れ関数への作用素を導入し、粘性近似とコンパクトネスの議論を用いることで、初期滑らかさを重み付きソボレフ空間で保存するパスワイズ一意で確率的に強い解が得られる。

ABSTRACT

This work is a continuation of the authors' work for the stochastic 2D Euler equation driven by transport type noise. Here we lift the incompressibility constraint. Instead we assume a weighted incompressibility condition. This condition is inspired by a physical model for a fluid in a basin with a free upper surface and a spatially varying bottom topography. Moreover, we assume a different form of the vorticity to stream function operator that generalizes the standard Biot-Savart operator which appears in the Euler equation. These two properties are exhibited in the physical model called the great lake equation. For this reason we refer to the model analysed in this paper as the stochastic great lake equation. The new vorticity to stream function operator generalizes the curl operator and it is shown to have good regularity properties. We also show that the initial smoothness of the solution is preserved. The arguments are based on constructing a family of viscous solutions which is proved to be relatively compact and to converge to a truncated version of the original equation. Finally, we show that the truncation can be removed up to a positive stopping time.

研究の動機と目的

• 重み付き制約を用いて、変動する海底地形と非定数非圧縮性を含めるために、確率的2次元Eulerフレームワークを拡張すること。
• 自由表面と空間的に変化する水深を持つ盆地内の流体力学を、輸送ノイズを伴う確率的渦度方程式でモデル化すること。
• 海底地形関数 $b$ が誘導する幾何構造を尊重する渦度から流れ関数への写像に、バイオ・サバール作用素を一般化すること。
• 初期正則性を保存する重み付きソボレフ空間 $\mathcal{W}_{b}^{k,2}(\mathbb{T}^2)$ におけるパスワイズ一意で確率的に強い解を確立すること。
• 正の停止時間までに方程式の打ち切りを除去し、解が局所的に時間的に有効であることを保証すること。

提案手法

• ケルビンの循環定理とエネルギー保存を保つために、ストラトノビッチ積分を用いて確率的グレートレイク方程式を定式化する。
• 標準的な $\boldsymbol{curl}$ 演算子に代わる、深さ関数 $b$ を組み込んだ一般化された渦度から流れ関数への作用素を導入する。
• 制御された正則性とコンパクトネスを持つ解の族 $\omega^{\nu_n, R, n}_t$ を構成するため、粘性近似スキームを用いる。
• 高階微分の $L^2_b$-ノルムに対して伊藤の公式を適用し、イタコルレクション項の制御を含む、事前推定を得る。
• バーグシュタイン＝デイヴィス＝ギュンディーの不等式とグロワールドの補題を用いて、解の $\mathcal{W}_{b}^{k,2}$-ノルムの2番目のモーメントを評価する。
• $D([0,T], L^2_b(\mathbb{T}^2))$ 内での相対的コンパクトネスと補題20を用いて極限に移行し、重み付きソボレフ空間における解を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 輸送ノイズを伴う確率的グレートレイク方程式は、重み付きソボレフ空間において一意な局所解を有するだろうか？
• RQ2 一般化された渦度から流れ関数への作用素は、確率的時間発展においてどのように振る舞い、正則性を保存するだろうか？
• RQ3 粘性近似法は、重み付き非圧縮性条件 $\nabla \cdot (b u) = 0$ を取り扱うために適応可能だろうか？
• RQ4 非退化な海底地形 $b$ は、流体領域の位相的構造をどのように保つのか？
• RQ5 正の停止時間までに方程式の打ち切りを除去できるだろうか？ これにより、解が局所的に時間的に有効であることが保証されるだろうか？

主な発見

• 初期データが同じ空間にあれば、確率的グレートレイク方程式は重み付きソボレフ空間 $\mathcal{W}_{b}^{k,2}(\mathbb{T}^2)$ においてパスワイズ一意で確率的に強い解を有する。
• 初期の渦度の滑らかさは、$\mathcal{W}_{b}^{k,2}$-ノルムに対する一様な事前推定により、解の軌道に沿ってほとんど確実に保存される。
• $\mathcal{W}_{b}^{k,2}$-ノルムの4番目のモーメントに対する事前推定が確立され、 $\mathbb{E}[\sup_{s\in[0,T]}\|\omega_s^{\nu_n,R,n}\|_{b,k,2}^4] \leq \mathcal{C}(R,T)$ が $n$ に依存しない形で成り立つ。
• 一般化された渦度から流れ関数への作用素は良好な正則性を持つことが示され、速度場が渦度によって制御されることを保証する。
• 方程式の打ち切りは、正の停止時間までに除去可能であり、解が局所的に時間的に有効であることが確認される。
• $b$ の非退化性により、領域の幾何構造に影響を与えるが、位相的構造は変わらず保たれる。これはwell-posednessの結果にとって不可欠である。