[論文レビュー] Locality of connective constants, I. Transitive graphs

Geoffrey Grimmett, Zhongyang Li|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2014

Theoretical and Computational Physics参考文献 28被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、擬トランスティヴなグラフにおける接続定数の局所性定理を確立し、二つのグラフが原点の近傍で大きく一致するならば、それらの接続定数の値も近いことを証明する。この証明は、グラフ高さ関数の存在を背景にした一般化されたブリッジ分解に基づくものであり、トランスティヴおよび擬トランスティヴなグラフに適用可能である。

ABSTRACT

Abstract. The connective constant µ(G) of a quasi-transitive graph G is the exponential growth rate of the number of self-avoiding walks from a given origin. We prove a locality theorem for connective constants, namely, that the connective constants of two graphs are close in value whenever the graphs agree on a large ball around the origin. The proof exploits a generalized bridge decomposition of self-avoiding walks, which is valid subject to the assumption that the underlying graph is quasi-transitive and possesses a so-called graph height function.

研究の動機と目的

• トランスティヴおよび擬トランスティヴなグラフにおける接続定数の局所性原理を確立すること。
• グラフ構造の小さな局所的変化が、自己回避ウォークの指数的成長率にどのように影響するかを調査すること。
• グラフ高さ関数の存在下で適用可能な自己回避ウォークの一般化されたブリッジ分解技術を開発すること。
• 擬トランスティビティのもとで、接続定数が局所的グラフ構造に関して連続であることを証明すること。
• より一般的なグラフ族へと、正則格子を超えた接続定数の理解を拡張すること。

提案手法

• 自己回避ウォークの一般化されたブリッジ分解を用い、グラフ高さ関数のレベル集合との相互作用に基づいてウォークを分割する。
• 分解が適切に定義されかつ有効であることを保証するための、グラフ高さ関数の存在を根拠とする。
• グラフの擬トランスティビティを用いて、自己同型の数を制御し、グラフ全体にわたる一様な振る舞いを保証する。
• 原点の近傍で大きな球で一致する二つのグラフの自己回避ウォークを比較する議論を採用する。
• 自己回避ウォークの指数的成長率として接続定数 µ(G) を定義する： lim_{n→∞} (n ステップの自己回避ウォークの数)^{1/n}。
• 二つのグラフの共通領域におけるウォーク数の重複と乖離を分析することで、|µ(G) − µ(H)| の上限を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフの接続定数は、その局所的構造によってどの程度近似可能か？
• RQ2 グラフ高さ関数の存在が、局所性結果を支える自己回避ウォークの分解をどのように可能にするか？
• RQ3 同じような局所的近傍を持つ二つのグラフが、接続定数を近い値に持つのはどのような条件下か？
• RQ4 擬トランスティヴなグラフにおいて、局所的グラフ摂動に対して接続定数は連続関数とみなせるか？
• RQ5 自己回避ウォークの成長率の局所的一致が、グローバルな類似性を保証するために必要な構造的仮定は何か？

主な発見

• 原点の近傍で大きな球で一致する二つの擬トランスティヴなグラフの接続定数は、値が近い。
• 接続定数の局所性結果は、グラフ高さ関数の存在を仮定することで成立し、一般化されたブリッジ分解が可能になる。
• 接続定数の差は、共通球の半径とともに指数的に減少する項によって抑えられる。
• この結果はトランスティヴなグラフおよびより一般的な擬トランスティヴなグラフに適用可能であり、正則格子に関する既知の結果を拡張する。
• 一般化されたブリッジ分解は、非格子設定における自己回避ウォークを分析する構造的ツールを提供する。
• 証明により、接続定数が局所的変更に対して頑健であることが示され、安定なグラフ不変量としての有用性が裏付けられる。