[論文レビュー] Localization of a supersymmetric gauge theory in the presence of a surface defect

Joël Lamy-Poirier|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 12被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、4次元 $\mathcal{N}=2$ 超ヤンミルズ理論の $S^4$ 上の分配関数を、$S^2$ 部分空間に配置されたゲージ化線形モデル（GLSM）表面的欠陥と結合させることで、超対称的局在化を用いて計算している。その結果、4次元ベクターmultipletが欠陥上に配置されたチラルmultipletと横方向微分を介して結合することにより、$Σ=(2,2)$ 超対称性を保存する形で、修正された分配関数が得られ、GLSMの寄与がシフトし、インスタントン分配関数が変形される。

ABSTRACT

We use supersymmetric localization to compute the partition function of N=2 super-Yang-Mills on S^4 in the presence of a gauged linear sigma model surface defect on a S^2 subspace. The result takes the form of a standard partition function on S^4, with a modified instanton partition function and an additional insertion corresponding to a shifted version of the gauged linear sigma model partition function.

研究の動機と目的

• 4次元 $\mathcal{N}=2$ 超対称ゲージ理論の $S^4$ 上の分配関数を、$S^2$ 部分空間に配置された2次元 GLSM 表面的欠陥と結合させることで計算すること。
• 特に、欠陥上に $Σ=(2,2)$ 超対称性が存在する文脈において、表面的欠陥を有する理論への超対称的局在化技術の拡張を図ること。
• ウィルソン線やAGT双対性の検証を含む物理的観測量を計算するための枠組みを提供すること。
• 横方向微分を介して4次元ベクターmultipletと結合するチラルmultipletの1ループ行列式およびインスタントン分配関数を導出すること。
• 欠陥上に物質multipletおよびベクターmultipletを含める結果を一般化し、さらなる計算の出発点を築くこと。

提案手法

• 4次元ベクターmultipletを $S^2$ 表面的欠陥に制限し、Coulomb分岐に経路積分を局在化するため、作用を変形する。
• 4次元ベクターmultipletを $S^2$ 欠陥に制限することで、横方向微分から2次元の場のタワー（ベクターmultipletとチラルmultipletを含む）が生成される。
• 4次元ゲージ場を2次元チラルmultipletのバックグラウンド場とみなし、横方向に楕円型のディラック作用素 $D_{10}$ を介して結合する。
• 等化的インデックス定理を用いて、チラルmultipletの1ループ行列式を計算し、$\mathcal{Q}$-コhomology 構造を用いる。
• 1ループ行列式を $Z_{1-\text{loop}} = \prod_{w\in R} \frac{\Gamma(\omega\cdot\Lambda_N - irM)}{\Gamma(1 - \omega\cdot\Lambda_S + irM)}$ として導出する。ここで $\Lambda_N, \Lambda_S$ は北極および南極におけるバックグラウンドゲージ接続である。
• 4次元および2次元のCoulomb分岐の積分の積として、完全な分配関数を構成し、修正されたインスタントン分配関数とシフトされた GLSM 寄与を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $S^4$ の $S^2$ 部分空間に表面的欠陥が存在する場合、4次元 $\mathcal{N}=2$ ゲージ理論の分配関数はどのように変化するか？
• RQ2 欠陥設定下で、4次元ベクターmultipletと横方向微分を介して結合するチラルmultipletの1ループ行列式の構造は何か？
• RQ3 4次元インスタントン分配関数は、$\mathbb{R}^2$ 上に2次元欠陥を含む $\Omega$-バックグラウンドがある場合、どのように変形されるか？
• RQ4 4次元-2次元結合系に超対称的局在化を、欠陥上に $Σ=(2,2)$ 超対称性が保存される形で一貫して適用できるか？
• RQ5 この欠陥設定下で、チラルmultipletの1ループ行列式を計算する際、等化的インデックスの役割は何か？

主な発見

• 分配関数は、修正されたインスタントン分配関数と、シフトされた GLSM 分配関数からの追加挿入を含む4次元 $S^4$ 分配関数の形をとる。
• チラルmultipletの1ループ行列式は、$\prod_{w\in R} \frac{\Gamma(\omega\cdot\Lambda_N - irM)}{\Gamma(1 - \omega\cdot\Lambda_S + irM)}$ として導出され、ここで $\Lambda_N, \Lambda_S$ は北極および南極におけるバックグラウンドゲージ接続である。
• 4次元ベクターmultipletと2次元チラルmultipletの結合は、4次元ゲージ場の横方向微分の制限から生じ、2次元multipletのタワーを形成する。
• 得られる理論は、$S^2$ 欠陥上で $Σ=(2,2)$ 超対称性を保存しており、元の4次元超対称荷の半分を破壊する。
• インスタントン分配関数は、Nekrasovのものとは修正されたものであり、$\Omega$-バックグラウンドに2次元欠陥を組み込んだものだが、その完全な導出は今後の作業に任せられている。
• 本手法は、欠陥上に物質multipletおよびベクターmultipletを含めるように一般化可能であり、欠陥設定下での物理的観測量のさらなる計算を可能にする。