[論文レビュー] Localization techniques in circle-equivariant KK-theory

Heath Emerson|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、円対称KK理論における局在化技術を開発し、特定の $\tau$-C*-代数（Cuntz-Krieger代数を含む）がブートストラップ圏に属するものの、可換 $\mathbb{T}$-C*-代数とは $K\sp{\mathbb{T}}$-同値でないことを示している。$K\sp{\mathbb{T}}$-理論における等置的Lefschetz固定点公式を確立し、$K\sp{\mathbb{T}}$-自己準同型の $\mathbb{C}[X,X^{-1}]$-値トレースを、幾何的一致サイクルのAtiyah-Singer $\mathbb{T}$-指数と関連づけている。

ABSTRACT

Let T be the circle and A be a T-C*-algebra. Then the T-equivariant K-theory of A is a module over the representation ring of the circle. The latter is a Laurent polynomial ring. Using the support of the module as an invariant, and techniques of Atiyah, Bott and Segal, we deduce that there are examples of T-C*-algebras A not KK^T-equivalent to any commutative T-C*-algebra. This is in contrast to the non-equivariant situation, in which any C*-algebra in the boostrap category is KK-equivalent to a commutative one. Our examples arise from dynamics, and include Cuntz-Krieger algebras with their usual circle actions. Using similar techniques, we also prove an equivariant version of the Lefschetz fixed-point formula. This is a special case of a result with Ralf Meyer that applies to general compact connected groups. The Lefschetz theorem equates the module trace of the module map of the T-equivariant K-theory of a smooth compact manifold induced by an equivariant self-correspondence of the manifold, with an appropriate Kasparov product; the Kasparov product is the T-equivariant index of the Dirac operator on a suitable `coincidence manifold' of the correspondence. Finally, we prove several results related to localization and the Kunneth and universal coefficient theorems, and give an essentially complete description of the T-equivariant K-theory of compact spaces, by combining localization techniques of Atiyah and Segal and results of Paul Baum and Alain Connes for equivariant K-theory of finite group actions.

研究の動機と目的

• 特定の $\mathbb{T}$-C*-代数が可換な $K\sp{\mathbb{T}}$-代数と $K\sp{\mathbb{T}}$-同値でない理由となる $K\sp{\mathbb{T}}$-理論的障害を同定すること。
• 古典的なLefschetz固定点理論を、$K\sp{\mathbb{T}}$-理論と幾何的対応関係を用いて等置的設定に拡張すること。
• Cuntz-Krieger代数 $O_A$ に対する $K\sp{\mathbb{T}}(O_A)$ の台が任意の代数的整数として取り得ることを示し、可換 $\mathbb{T}$-C*-代数の台制約を破ることを示すこと。
• $K\sp{\mathbb{T}}$-自己準同型の $\mathbb{C}[X,X^{-1}]$-値トレースと、幾何的サイクルのAtiyah-Singer $\mathbb{T}$-指数を等しくする明確な公式を確立すること。
• 滑らかな $\mathbb{T}$-多様体上の固定点データと表現論を用いて、等置的Lefschetz数の計算フレームワークを提供すること。

提案手法

• Atiyah-Bott-Segalの局在化技術を用いて、$\mathrm{Rep}(\mathbb{T}) \cong \mathbb{C}[X,X^{-1}]$ 上の $K\sp{\mathbb{T}}(A)$ の台を分析し、可換性に対する障害を同定する。
• $K\sp{\mathbb{T}}(A)$ を $\mathbb{C}[X,X^{-1}]$-加群として得たものから、$\mathbb{C}^*$ 上の層を構成し、Zariski局在化を用いてその台を調査する。
• 自由部分への圧縮を用いて、$K\sp{\mathbb{T}}$-自己準同型の $\mathbb{C}[X,X^{-1}]$-値トレースを定義する。
• 幾何的対応関係に $\mathbb{T}$-等置的 Baum-Douglasサイクルを関連付け、その $\mathbb{T}$-指数を計算することで、等置的Lefschetz定理を定式化する。
• Atiyah-Singer指数定理を適用し、一致サイクルの $\mathbb{T}$-指数と自己準同型の $\mathbb{C}[X,X^{-1}]$-トレースを関連付ける。
• 例において、$K\sp{\mathbb{T}}(X)$ 上の自己準同型作用素の最小多項式を用いて、トレースを明示的に計算する。例えば、$\mathbb{CP}^1$ に $\mathbb{T}$-作用が与えられた場合。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $K\sp{\mathbb{T}}$-理論は、ブートストラップ圏における $K\sp{\mathbb{T}}$-同値性の非可換な障害を検出できるか？
• RQ2 Cuntz-Krieger代数 $O_A$ に対して、標準的 $\mathbb{T}$-作用の下で $K\sp{\mathbb{T}}(O_A)$ の台は何か？ そして可換 $\mathbb{T}$-C*-代数の台とはどのように異なるか？
• RQ3 古典的なLefschetz固定点公式は、$KK^\mathbb{T}$-理論における $\mathbb{T}$-等置的幾何的対応関係へどのように一般化できるか？
• RQ4 $K\sp{\mathbb{T}}$-自己準同型の $\mathbb{C}[X,X^{-1}]$-値トレースと、幾何的サイクルのAtiyah-Singer $\mathbb{T}$-指数との正確な関係は何か？
• RQ5 $O_A$ の行列 $A$ の固有値は、$K\sp{\mathbb{T}}(O_A)$ の $\mathbb{C}[X,X^{-1}]$-加群としてのスペクトルデータとどのように関係するか？

主な発見

• 局所コンパactsな $\mathbb{T}$-空間 $X$ に対して、$K\sp{\mathbb{T}}(C_0(X))$ の台は常に単位円上に含まれるか、または $\mathbb{C}^*$ 全体に一致する。Cuntz-Krieger代数はこの制約に反する。
• Cuntz-Krieger代数 $O_A$ に対して、$K\sp{\mathbb{T}}(O_A)$ の台は $0$-$1$ 行列 $A$ の非ゼロ固有値の集合である。この台は任意の代数的整数として取り得るため、$K\sp{\mathbb{T}}$-同値性が可換 $\mathbb{T}$-C*-代数とは成立しないことが示される。
• 等置的Lefschetz公式は、$\mathrm{trace}_{\mathbb{C}[X,X^{-1}]}(f_*) = \mathrm{ind}_{\mathbb{T}}(\mathrm{Lef}(f))$ と表され、ホモロジー的不変量と幾何的 $\mathbb{T}$-指数を等しくする。
• 滑らかな $\mathbb{T}$-多様体 $X$ が孤立した固定点を持つ場合、トレース $\mathrm{trace}_{\mathbb{C}[X,X^{-1}]}(\lambda_\xi)$ は固定点 $P$ 全体における $\xi_P$ の和に等しくなる。ここで $\xi_P \in \mathbb{C}[X,X^{-1}]$ は $\xi$ を $P$ に制限したものである。
• $\mathbb{CP}^1$ に標準的 $\mathbb{T}$-作用が与えられた場合、$\mathrm{trace}_{\mathbb{C}[X,X^{-1}]}(\lambda_{[H]}^k) = X^k + X^{-k}$ が成り立ち、これは $\mathrm{K}^0_{\mathbb{T}}(\mathbb{CP}^1)$ 上の自己準同型作用素の最小多項式を用いて計算される。
• $\mathbb{T}$-不変バンドルが固定点多様体 $F$ 上にあるとき、$e_X([E]) = \chi(F)\sum_\lambda \dim_{\mathbb{C}}(E_\lambda) f_\lambda$ が成り立つ。ここで $f_\lambda$ は固有空間 $E_\lambda$ 上での $\mathbb{T}$-作用の特徴である。