[論文レビュー] Localization transition in disordered pinning models. Effect of randomness on the critical properties

Fabio Lucio Toninelli|ArXiv.org|Mar 30, 2007

Theoretical and Computational Physics参考文献 37被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、クエンチド・ディスオーダーを伴う1次元の欠陥線に相互作用する指向性ポリマーを含む不規則ピンナップモデルにおける局在化遷移を調査する。再生理論、大偏差理論、平均場スピンガラスの技術を用いて、理論的に示したところ、尾指数α < 1/2ではディスオーダーが無関係であり、均一系と同一の臨界指数を示すが、α > 1/2ではディスオーダーが有効となり、摂動的でない方法で臨界挙動が変化する。

ABSTRACT

These notes are devoted to the statistical mechanics of directed polymers interacting with one-dimensional spatial defects. We are interested in particular in the situation where frozen disorder is present. These polymer models undergo a localization/delocalization transition. There is a large (bio)-physics literature on the subject since these systems describe, for instance, the statistics of thermally created loops in DNA double strands and the interaction between (1+1)-dimensional interfaces and disordered walls. In these cases the transition corresponds, respectively, to the DNA denaturation transition and to the wetting transition. More abstractly, one may see these models as random and inhomogeneous perturbations of renewal processes. The last few years have witnessed a great progress in the mathematical understanding of the equilibrium properties of these systems. In particular, many rigorous results about the location of the critical point, about critical exponents and path properties of the polymer in the two thermodynamic phases (localized and delocalized) are now available. Here, we will focus on some aspects of this topic - in particular, on the non-perturbative effects of disorder. The mathematical tools employed range from renewal theory to large deviations and, interestingly, show tight connections with techniques developed recently in the mathematical study of mean field spin glasses.

研究の動機と目的

• クエンチド・ディスオーダーがピンナップモデルの臨界的性質に与える影響、特に局在化／脱局在遷移にどのように作用するかを理解すること。
• 厳密な数学的手法を用いて、ディスオーダーが臨界挙動に対して無関係または有効である条件を特定すること。
• 再生測度の尾指数αがハリス基準を用いてディスオーダーの有効性を決定する役割を分析すること。
• クエンチドおよびアンネールド設定の両方において、相関長および自由エネルギーの鋭い境界を確立すること。
• 不規則ピンナップモデルの数学的解析と平均場スピンガラスの技術を結びつけ、深い構造的類似性を明らかにすること。

提案手法

• 不規則ピンナップモデルを、欠陥サイトにおける確率的独立同分布の相互作用強度を有する再生過程の摂動として定式化する。
• アンネールド自由エネルギーを変分的上界として用い、クエンチドとアンネールド自由エネルギーを比較するための補間技術を適用する。
• レプリカ結合と大偏差推定を用いて、α < 1/2のときディスオーダーが無関係であることを証明し、臨界指数が均一系と一致することを示す。
• タウーベリアン定理を用いて、再生測度の漸近的挙動と自由エネルギーおよび相関長スケーリングを関連付ける。
• ベッセル過程との結合論法を用いて、クエンチドおよび平均化された相関関数の指数的減衰境界を導出する。
• クエンチド状況における相関長がμ → 0のときμ^{-1}のオーダーでスケーリングすることを確立し、その減衰率が自由エネルギーF(β,h)およびディスオーダー強度によって制御されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クエンチド・ディスオーダーがピンナップモデルの臨界挙動に対して無関係である条件は何か？
• RQ2 再生測度の尾指数αがハリス基準を用いてディスオーダーの有効性をどのように決定するか？
• RQ3 臨界点付近におけるクエンチドおよびアンネールド系の相関長の正確なスケーリングは何か？
• RQ4 特にα > 1/2の場合に、臨界指数および自由エネルギーはディスオーダーの有無にどのように依存するか？
• RQ5 平均場スピンガラスの技術、例えばレプリカ結合が、不規則ピンナップモデルにどの程度適用可能か？

主な発見

• α < 1/2ではディスオーダーが無関係である：クエンチドモデルの臨界点および臨界指数は均一系と同一である。
• α > 1/2ではディスオーダーが有効であり、臨界挙動を摂動的でない方法で変化させ、異なる臨界指数および修正された相図をもたらす。
• クエンチド相関長は、自由エネルギーF(β,h)の(1+ε)乗のオーダーで少なくともそのレートで指数的減衰し、係数は概ね確実に有限である。
• アンネールド相関関数は、自由エネルギーμ(β,h)の(1+ε)乗のオーダーで少なくともそのレートで指数的減衰し、係数は一様に有界である。
• クエンチド状況における相関長はμ^{-1}のオーダーであり、減衰率は自由エネルギーおよびディスオーダー強度によって制御される。
• 結果は、ハリス基準α_c = 1/2がディスオーダーの有効性の鋭い閾値であることを確認し、クエンチドおよび平均化設定における相関の減衰に対する厳密な境界を提供する。