[論文レビュー] Localization with a Surface Operator, Irregular Conformal Blocks and Open Topological String

Hidetoshi Awata, Hiroyuki Fuji+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 44被引用数 31

ひとこと要約

この論文は、モジュライ空間上の局所化を用いて、表面演算子を伴うSU(2) $υ=2$ ゲージ理論のインスタントン分配関数と、退化した一次場の挿入を含む conformal field theory (CFT) の相関関数の間の正確な一致を確立した。これは半古典的極限を超えてAGT対応を確認し、非自明な特異点を持つ微分方程式を導出し、ファーミオンのデカップリングが漸近的に自由な理論に至ることを記述した。さらに、幾何的エンジニアリングを通じて、局所ヒルツェブルシュ面におけるオープントポロジカル弦振幅と結びつけた。

ABSTRACT

Following a recent paper by Alday and Tachikawa, we compute the instanton partition function in the presence of the surface operator by the localization formula on the moduli space. For SU(2) theories we find an exact agreement with CFT correlation functions with a degenerate operator insertion, which enables us to work out the decoupling limit of the superconformal theory with four flavors to asymptotically free theories at the level of differential equations for CFT correlation functions (irregular conformal blocks). We also argue that the K theory (or five dimensional) lift of these computations gives open topological string amplitudes on local Hirzebruch surface and its blow ups, which is regarded as a geometric engineering of the surface operator. By computing the amplitudes in both A and B models we collect convincing evidences of the agreement of the instanton partition function with surface operator and the partition function of open topological string.

研究の動機と目的

• インスタントンのモジュライ空間上での局所化を用いて、表面演算子を伴うSU(2)ゲージ理論におけるインスタントン分配関数を計算すること。
• 半古典的極限を超えて、ゲージ理論の分配関数と、退化演算子の挿入を含むCFT相関関数との正確な対応関係を確立すること。
• 超共形 $\mathcal{N}=2$ $SU(2)$ 理論（4ファーミオン）から漸近的に自由な理論へのデカップリング極限を記述する、不規則特異点を持つ微分方程式を導出し、それらを解析すること。
• 得られた分配関数を、幾何的エンジニアリングを用いて、局所ヒルツェブルシュ面およびそのブロー・アップにおけるオープントポロジカル弦振幅と結びつけること。

提案手法

• インスタントンのモジュライ空間上での局所化公式を用いて、$SU(2)$ ゲージ理論における表面演算子付きインスタントン分配関数を計算すること。
• Feigin らの等化特徴式を用いて、全表面演算子型に対して直接的に分配関数を計算すること。
• Gaiotto 状態に対する $\Phi_{1,2}$ の1点関数のための微分方程式を導出し、不規則特異点を記述すること。
• これらの微分方程式をスケールパラメータ $\Lambda$ のべき級数として解き、インスタントン展開と一致させること。
• 物質質量を無限大に送ることで、$\mathcal{N}=2$ $SU(2)$ 理論（4ファーミオン）のデカップリング極限を実行し、CFT側での対応する極限を解析すること。
• トポロジカルバーテックス形式および接合則を用いて、ゲージ理論のK理論的（5次元）上昇を、局所ヒルツェブルシュ面およびそのブロー・アップにおけるオープントポロジカル弦振幅と結びつけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $SU(2)$ $\mathcal{N}=2$ ゲージ理論における表面演算子付きインスタントン分配関数は、正確に退化一次場の挿入を含むCFT相関関数と一致するか？
• RQ2 超共形理論から漸近的に自由な理論へのデカップリング極限によって、不規則特異点を持つ conformal block の微分方程式はどのように生じるか？
• RQ3 局所化を用いて、半古典的極限を超えて、正確なインスタントン寄与を含むAGT対応を拡張できるか？
• RQ4 表面演算子の幾何的エンジニアリング的解釈は、局所ヒルツェブルシュ面上のオープントポロジカル弦振幅としてどのように解釈されるか？
• RQ5 BモデルとAモデルの両方の振幅計算において、トポロジカルバーテックスと接合則は、表面演算子付きゲージ理論分配関数をどのように再現するか？

主な発見

• 表面演算子付きインスタントン分配関数と、退化場の挿入を含むCFT相関関数との間で、半古典的極限を超えて正確な一致が得られた。
• Gaiotto 状態に対する $\Phi_{1,2}$ の1点関数の微分方程式は、不規則特異点を示し、これはCFTブロック構造における正則特異点の退化から生じる。
• 4ファーミオンを伴う $\mathcal{N}=2$ $SU(2)$ 理論のデカップリング極限が、CFT側の微分方程式に対応する極限に正確に写像された。
• Gaiotto 状態は、2つのバーラソロ一次場の退化として現れ、デカップリングプロセスのCFT的実現を提供する。
• ゲージ理論計算のK理論的上昇は、局所ヒルツェブルシュ面およびそのブロー・アップにおけるオープントポロジカル弦振幅を再現し、幾何的エンジニアリングの提案を確認した。
• BモデルとAモデルの両方の振幅計算が一致し、表面演算子付きインスタントン分配関数とオープントポロジカル弦分配関数との双対性を強く支持する証拠が得られた。