[論文レビュー] Localized Hardy Spaces $H^1$ Related to Admissible Functions on RD-Spaces and Applications to Schrödinger Operators

Dachun Yang, Yuan Zhou|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2009

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 34被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、RD空間上の適切関数 $\rho$ に関連する局所化されたハーディー空間 $H^1_\rho(\mathcal{X})$ を導入し、最大関数による特徴づけ、アトム分解、局所化された特異積分の有界性を確立する。主な貢献は、逆ホーラー不等式を満たすポテンシャルを持つシュレーディンガー作用素へハーディー空間理論を拡張し、ヘイゼンベルク群およびノンアーベル可解群上でリーマン変換の新たな有界性結果を導出することにある。

ABSTRACT

Let ${\mathcal X}$ be an RD-space, which means that ${\mathcal X}$ is a space of homogenous type in the sense of Coifman and Weiss with the additional property that a reverse doubling property holds in ${\mathcal X}$. In this paper, the authors first introduce the notion of admissible functions $ρ$ and then develop a theory of localized Hardy spaces $H^1_ρ({\mathcal X})$ associated with $ρ$, which includes several maximal function characterizations of $H^1_ρ({\mathcal X})$, the relations between $H^1_ρ({\mathcal X})$ and the classical Hardy space $H^1({\mathcal X})$ via constructing a kernel function related to $ρ$, the atomic decomposition characterization of $H^1_ρ({\mathcal X})$, and the boundedness of certain localized singular integrals in $H^1_ρ({\mathcal X})$ via a finite atomic decomposition characterization of some dense subspace of $H^1_ρ({\mathcal X})$. This theory has a wide range of applications. Even when this theory is applied, respectively, to the Schrödinger operator or the degenerate Schrödinger operator on $ n$, or the sub-Laplace Schrödinger operator on Heisenberg groups or connected and simply connected nilpotent Lie groups, some new results are also obtained. The Schrödinger operators considered here are associated with nonnegative potentials satisfying the reverse Hölder inequality.

研究の動機と目的

• RD空間上での適切関数 $\rho$ に関連する局所化ハーディー空間 $H^1_\rho(\mathcal{X})$ の理論を構築すること。
• 最大関数による特徴づけとアトム分解を $H^1_\rho(\mathcal{X})$ に対して確立すること。
• $\rho$ に関連するカーネル関数を通じて、$H^1_\rho(\mathcal{X})$ と古典的ハーディー空間 $H^1(\mathcal{X})$ の関係を調査すること。
• 有限アトム分解を用いて、特定の局所化された特異積分の $H^1_\rho(\mathcal{X})$ 上での有界性を証明すること。
• この理論を $\mathbb{R}^n$ 上のシュレーディンガー作用素、ヘイゼンベルク群、可解リー群に応用し、リーマン変換および熱核の有界性に関する新たな結果を得ること。

提案手法

• RD空間上での逆ダブルイングおよび成長条件を満たす適切関数 $\rho$ のクラスを導入すること。
• $\rho$ に関連するカーネル関数を構成し、$H^1_\rho(\mathcal{X})$ と古典的 $H^1(\mathcal{X})$ 空間との関係を確立すること。
• 適切関数 $\rho$ を用いて、$H^1_\rho(\mathcal{X})$ の複数の最大関数による特徴づけを確立すること。
• $(1,2)_\rho$-アトムを用いた $H^1_\rho(\mathcal{X})$ のアトム分解を構築し、稠密部分空間の有限アトム分解を特徴づけること。
• ヘイゼンベルク群上での局所化されたリーマン変換 $\nabla \mathcal{L}^{-1/2}$ が $H^1_\mathcal{L}(\mathbb{G})$ から $L^1(\mathbb{G})$ への有界性を、$A_1$、$A_2$、$A_3$ の3つの作用素への分解を用いて証明すること。
• 双対性、ハーディー＝リトルウッド最大作用素、および熱核推定を用いて、$p_1 \in (1,p)$ に対して $A_1$、$A_2$、$A_3$ の $L^{p_1}$-ノルムを制御すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適切関数を用いたRD空間上でのハーディー空間理論を、どのように局所化された設定へ拡張できるか？
• RQ2 局所化ハーディー空間 $H^1_\rho(\mathcal{X})$ と古典的ハーディー空間 $H^1(\mathcal{X})$ の関係は何か？
• RQ3 アトム分解と最大関数による特徴づけは、$H^1_\rho(\mathcal{X})$ に対して確立可能か？
• RQ4 シュレーディンガー作用素に関連するリーマン変換は、ヘイゼンベルク群または可解リー群である $\mathcal{X}$ に対して $H^1_\mathcal{L}(\mathcal{X})$ 上で有界か？
• RQ5 有限アトム分解を用いることで、$H^1_\rho(\mathcal{X})$ 上での局所化された特異積分の新たな有界性結果は何か？

主な発見

• 局所化ハーディー空間 $H^1_\rho(\mathcal{X})$ は、適切関数 $\rho$ に基づく複数の最大関数による特徴づけを有する。
• $\rho$ に関連するカーネル関数により、$H^1_\rho(\mathcal{X})$ と古典的ハーディー空間 $H^1(\mathcal{X})$ の明確な関係が確立される。
• $(1,2)_\rho$-アトムを用いた $H^1_\rho(\mathcal{X})$ のアトム分解が達成され、稠密部分空間の有限アトム分解による特徴づけが得られる。
• ヘイゼンベルク群 $\mathbb{G}$ 上で、リーマン変換 $\nabla \mathcal{L}^{-1/2}$ は $H^1_\mathcal{L}(\mathbb{G})$ から $L^1(\mathbb{G})$ への有界性を示し、$A_1$、$A_2$、$A_3$ への分解を用いて証明される。
• $A_1$、$A_2$、$A_3$ は $H^1_\rho(\mathbb{G})$ から $L^1(\mathbb{G})$ への有界作用素であり、$p_1 \in (1,p)$ に対して $\|A_1(f)\|_{L^{p_1}} \lesssim \|f\|_{L^{p_1}}$ および $\|A_2(f)\|_{L^{p_1}} \lesssim \|f\|_{L^{p_1}}$ が成り立つ。
• $A_3$ の有界性は、カーネル $\widetilde{K}$ が条件 (K1) および (K2) を満たすこと、および命題 3.3 からの帰結によって示される。