[論文レビュー] Localizing virtual structure sheaves by cosections

Young‐Hoon Kiem, Jun Li|arXiv (Cornell University)|May 26, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、完全な障害理論と障害層の線形写像を備えたデリン・ムーディー スタック上の仮想的構造層に対して、K-理論的コセクション局所化を導入する。コセクションの台に沿った局所化されたギジン写像を定義することで、$K_0(X(σ))$ 内に仮想的サイクルを代数的K理論に引き上げる仮想的構造層を構成する。これにより、変形不変なK理論的不変量が得られ、グロモフ＝ウィトテンおよびファン＝ジャービス＝ラウン＝ウィットン不変量への結果の拡張が可能になる。

ABSTRACT

We construct a cosection localized virtual structure sheaf when a Deligne-Mumford stack is equipped with a perfect obstruction theory and a cosection of the obstruction sheaf.

研究の動機と目的

• コセクション局所化をチャウ群から代数的K理論へ拡張し、K理論的仮想的構造層を構成すること。
• モジュライ空間が固有でない場合でもwell-definedであるような $K_0$-理論における局所化された仮想オイラー次元を定義すること。
• 文献[6,7]におけるコセクション局所化仮想サイクルの結果を、特にFJRW不変量に対してK理論的設定へと引き上げること。
• 仮想オイラー次元を通じて、ランダウ＝ジンブルグ／カバリ＝ヤウ双対性のK理論的バージョンを確立すること。
• グローバルな分解の選択に依存しないこと、および変形に対して不変であることを証明すること。

提案手法

• コセクションの台に沿って、コーン $C_1$ の台を用いて、$0^{!}_{E_1,\sigma}: K_0(E_1(\sigma)) \to K_0(X(\sigma))$ を定義する。
• 局所化された仮想的構造層を $[\mathscr{O}^{\mathrm{vir}}_{X,\mathrm{loc}}] = 0^{!}_{E_1,\sigma}[\mathscr{O}_{C_1}] \in K_0(X(\sigma))$ として構成する。
• 押し出し写像と局所化されたギジン写像の可換性を用い、問題を $X(\sigma)$ 沿いのブローモーに還元する。ここで完全列が分解可能な場合に変形される。
• $E_1(\sigma)$ が $X(\sigma)$ 上の $E_1|_{X(\sigma)}$ と、$U = X \setminus X(\sigma)$ における $\ker(\sigma: E_1|_U \to \mathscr{O}_U)$ の和集合であることを活用する。
• 変形不変性と仮想基本クラスとの整合性を用いて、分解の選択に依存しないことを保証する。
• ブローモー上の分解完全列への還元により、チオドロのK理論的クラス $Ke(E^\vee, \tau^\vee)$ との比較を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 仮想サイクルのコセクション局所化は、チャウ群から代数的K理論へ引き上げ可能か？
• RQ2 得られるK理論的仮想的構造層は、完全障害理論のグローバル分解の選択に依存しないか？
• RQ3 モジュライ空間が固有でない場合でも、$K_0$-理論における局所化された仮想オイラー次元を定義・計算可能か？
• RQ4 局所化された仮想オイラー次元を通じて、K理論的バージョンのランダウ＝ジンブルグ／カバリ＝ヤウ双対性は成立するか？
• RQ5 局所化された仮想的構造層は、チオドロのクラスのような既存のK理論的不変量とどのように関係するか？

主な発見

• コセクション局所化仮想的構造層 $[\mathscr{O}^{\mathrm{vir}}_{X,\mathrm{loc}}] \in K_0(X(\sigma))$ はwell-definedであり、$[E^{-1} \to E^0]$ のグローバル分解の選択に依存しない。
• 構成は $\imath_*[\mathscr{O}^{\mathrm{vir}}_{X,\mathrm{loc}}] = [\mathscr{O}^{\mathrm{vir}}_X] \in K_0(X)$ を満たし、グローバル仮想的構造層と整合性を持つ。
• 局所化された仮想的構造層は変形不変であり、モジュライ空間の変形に対してもその類を保つ。
• コセクション局所化仮想オイラー次元 $\chi^{\mathrm{vir}}_{\mathrm{loc}}(X,\beta)$ は、$X$ が固有でない場合でも $\sum_i (-1)^i \dim H^i(X(\sigma), \beta \cdot \mathscr{O}^{\mathrm{vir}}_{X,\mathrm{loc}})$ として定義可能である。
• チオドロのK理論的クラス $Ke(E^\vee, \tau^\vee)$ は $K_0(S)$ 内で $[\mathscr{O}^{\mathrm{vir}}_{X,\mathrm{loc}}]$ と一致し、既存のK理論的構成との直接的な関係を確立する。
• フェルマ五次曲面のグロモフ＝ウィトテンモデルにおいて、$\chi^{\mathrm{vir}}_{\mathrm{loc}}(\overline{M}_g(\mathbb{P}^4,d)^p) = (-1)^{5d - g + 1} \chi^{\mathrm{vir}}(N)$ が成り立ち、K理論的バージョンのLG/CY双対性を証明する。