[論文レビュー] Invariants of pure 2-dimensional sheaves inside threefolds and modular forms

Amin Gholampour, Artan Sheshmani|arXiv (Cornell University)|May 6, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 34被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、三重空間幾何における純粋な2次元層のドナルドソン＝トーマス不変量を研究しており、K3ファイブレーション、ℙ²の正則バンドル、および正のラインバンドルを備えたカーボリ＝ヤウ3次元多様体のケースについて、それらのモジュラー性を証明し、幾何的・組合せ的技法を用いて整数性予想を検証する。明示的な公式は、Euler特性数やMNOP不変量といった既知のモジュラー形式に基づく。

ABSTRACT

Motivated by S-duality modularity conjectures in string theory, we study the Donaldson-Thomas type invariants of pure 2-dimensional sheaves inside a nonsingular threefold X in three different situations: (1). X is a K3 fibration over a curve. We study the Donaldson-Thomas invariants of the 2 dimensional Gieseker stable sheaves in X supported on the fibers. Analogous to the Gromov-Witten theory formula established in the work of Maulik-Pandharipande, we express these invariants in terms of the Euler characteristic of the Hilbert scheme of points on the K3 surface and the Noether-Lefschetz numbers of the fibration, and prove that the invariants have modular properties. (2). X is the total space of the canonical bundle of P^2. We study the generalized Donaldson-Thomas invariants defined by Joyce-Song of the moduli spaces of the 2-dimensional Gieseker semistable sheaves on X with first Chern class equal to k times the class of the zero section of X. When k=1,2 or 3, and semistability implies stability, we express the invariants in terms of known modular forms. We prove a combinatorial formula for the invariants when k=2 in the presence of the strictly semistable sheaves, and verify the BPS integrality conjecture of Joyce-Song in some cases. (3). (Joint with Richard Thomas) X is a Calabi-Yau threefold and L is a sufficiently positive line bundle. We define new invariants counting a restricted class of 2-dimensional torsion sheaves, enumerating pairs (Z,H) in X where H is a member of the linear system |L| and Z is a 1-dimensional subscheme of H. The associated sheaf is the ideal sheaf of Z in H, pushed forward to X and considered as a certain Joyce-Song pair in the derived category of X. We express these invariants in terms of the MNOP invariants of X.

研究の動機と目的

• K3ファイブレーションにおける2次元層のドナルドソン＝トーマス不変量のモジュラー性を確立すること。
• ℙ²の全空間の正則バンドル上の層に対して、一般化されたDT不変量を計算すること、特にk=1,2,3の場合。
• ジョイス＝ソンのペアを用いて、カーボリ＝ヤウ3次元多様体上の線形系における1次元部分スキームを数える新しい不変量を定義すること。
• 厳密に半安定な層を含む特定のケースにおいて、ジョイス＝ソンのBPS整数性予想を検証すること。
• 新しい不変量をカーボリ＝ヤウ3次元多様体におけるMNOP不変量と関連付けること。

提案手法

• K3ファイブレーションの場合、K3表面の点のヒルベルトスキームのEuler特性数とノイター＝レフシェッツ数を用いて不変量を表現する。
• ℙ²の正則バンドルの場合、ジョイス＝ソンの一般化されたDT理論を用い、最初のチャーン類がゼロ切断類のk倍である層の不変量を定義する。
• k=2の場合、生成関数の技法を用いて、厳密に半安定な層が寄与する状況下で不変量の組合せ的公式を導出する。
• カーボリ＝ヤウの場合、不変量をペア (Z,H) を用いて定義する。ここで H ∈ |L| であり、Z は H の1次元部分スキームである。関連する層を X に押し上げる。
• 導来カテゴリの技法を用い、H 内の Z の層を X の導来カテゴリにおけるジョイス＝ソンペアとみなす。
• 新しい不変量を、周囲のカーボリ＝ヤウ3次元多様体のMNOP不変量で表す公式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 K3ファイブレーション上の2次元ギーゼッカー安定層のドナルドソン＝トーマス不変量は、K3表面の点のヒルベルトスキームのEuler特性数とノイター＝レフシェッツ数とどのように関係するか？
• RQ2 ℙ²の正則バンドル上の2次元層の一般化されたDT不変量は、k=1,2,3 に対して既知のモジュラー形式で表せるか？
• RQ3 厳密に半安定な層が寄与する場合、特にk=2のとき、DT不変量の組合せ的構造は何か？
• RQ4 カーボリ＝ヤウ3次元多様体上の線形系における1次元部分スキームを数える新しい不変量は、どのように定義され、既存の不変量と関連づけられるか？
• RQ5 新しい不変量は、ジョイス＝ソンのBPS整数性予想をどの程度満たすか？

主な発見

• K3ファイブレーションの場合、不変量がモジュラー形式であることが示され、K3表面の点のヒルベルトスキームのEuler特性数とノイター＝レフシェッツ数を含む明示的表現が得られた。
• ℙ²の正則バンドルにおいてk=1,2,3の場合、一般化されたDT不変量が既知のモジュラー形式で表され、モジュラー性が確認された。
• k=2の場合、厳密に半安定な層が寄与する状況下でも、DT不変量の組合せ的公式が導出され、明確な計算ツールが得られた。
• ジョイス＝ソンのBPS整数性予想は、厳密に半安定な層を含む特定のケースで検証され、これらの設定において有効であることが支持された。
• カーボリ＝ヤウ3次元多様体の場合、ペア (Z,H) を数える新しい不変量は、周囲の3次元多様体のMNOP不変量で表せることを証明し、異なる数え上げ理論の深い関係を確立した。