[論文レビュー] Locally analytic vectors of unitary principal series of GL_2(Qp)

Ruochuan Liu, Bingyong Xie+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、p > 2 に対して、GL₂(ℚₚ) のユニタリ主系列表現における局所解析的ベクトルの構造に関するEmertonの予想を証明する。Colmezのp進局所Langlands理論を用いて、著者たちは局所解析的ベクトルが主系列表現と階数1の(φ,Γ)-加群を含む完全系列に含まれることを特定し、GL₂(ℚₚ)におけるp進Langlandsプログラムにおける重要な未解決問題を解消する。

ABSTRACT

The p-adic local Langlands correspondence for GL2(Qp) attaches to any 2-dimensional irreducible p-adic representation V of the absolute Galois groups of Qp an admissible unitary representation Pi(V) of GL2(Qp). The unitary principal series of GL2(Qp) are those Pi(V) corresponding to trianguline representations. In this article, for p>2, using the machinery of Colmez, we determine the space of locally analytic vectors for all non-exceptional unitary principal series of GL2(Qp) by proving a conjecture of Emerton.

研究の動機と目的

• GL₂(ℚₚ) のユニタリ主系列表現における局所解析的ベクトルの構造に関するEmertonの予想を解決すること。
• 非特異三角的表現における局所解析的ベクトルの文脈に、Colmezのp進局所Langlands対応を拡張すること。
• 双対性と(φ,Γ)-加群論を用いて、ユニタリ主系列に対してΠ(V)ₐₙの正確な構造を特定すること。
• 主系列と階数1の加群を用いて、局所解析的ベクトルを正確に記述する完全系列を確立すること。

提案手法

• Colmezの双対性公式を用いる：(Π(∨V)ₐₙ)* ≅ Dₙₐₜᵣᵢg(∨V) ⊗ₚ¹ であり、局所解析的ベクトルをエタールな(φ,Γ)-加群と関連付ける。
• 局所解析的主系列表現の双対をモデル化するため、ねじれテンソル積 R(η) ⊗₆ P¹ および R⁺(η) ⊗₆ P¹ を構成する。
• 階数1の(φ,Γ)-加群およびその拡張の理論を適用し、三角的表現に対して Dₙₐₜᵣᵢg(s) ⊗ₚ¹ の構造を分析する。
• P¹双対空間における双対性と直交性を用いて、部分表現を同定し、完全系列内の余次元を計算する。
• Colmez理論における重要な結果を適用し、自然な写像 jₚ¹ の像が R⁺(δ) ⊗ₚ¹ の部分空間に対応することを関連付ける。
• δ₁δ₂⁻¹ = xᵏ|x| であるかどうかに基づくケース解析を用いて、離散的系列と主系列の構造を区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GL₂(ℚₚ) の非特異ユニタリ主系列に対して、局所解析的ベクトル空間 Π(V)ₐₙ の正確な構造は何か？
• RQ2 Emertonが予想した完全系列 0 → Σ(s) → Π(V(s))ₐₙ → (Ind_B GL₂(ℚₚ) δ₁⊗δ₂(x|x|)⁻¹)ₐₙ → 0 は、すべての非特異 s ∈ ℒ_irr に対して成り立つか？
• RQ3 局所解析的ベクトルは、階数1の(φ,Γ)-加群の双対およびその拡張とどのように関係するか？
• RQ4 δ₁δ₂⁻¹ = xᵏ|x| の場合、全局所解析的ベクトル空間内の局所解析的部分表現の余次元は何か？
• RQ5 BreuilのΠ(V)ₐₙの構造に関するより精密な予想は、非特異の場合にEmertonの予想から導けるか？

主な発見

• p > 2 のとき、Emertonの予想は、GL₂(ℚₚ) のすべての非特異ユニタリ主系列に対して正しいことが証明された。
• 局所解析的ベクトル空間 Π(V(s))ₐₙ は完全系列 0 → Σ(s) → Π(V(s))ₐₙ → (Ind_B GL₂(ℚₚ) δ₁⊗δ₂(x|x|)⁻¹)ₐₙ → 0 に含まれる。ここで Σ(s) はBreuilの局所解析的表現によって定義される。
• δ₁δ₂⁻¹ = xᵏ|x| である場合、表現 Σ(s) は Σ(k+1, ℒ) ⊗ (δ₂|x|^(2−k)/²∘det) に同型であり、商は非自明な拡張構造を持つ。
• δ₁δ₂⁻¹ = xᵏ|x| の場合、商 Π(V(s))ₐₙ / Σ(δ₁,δ₂) の双対は R(δ₂) ⊗ₚ¹ ∩ Dₙₐₜᵣᵢg(∨s) ⊗ₚ¹ に同型であり、これは R⁺(δ₂) ⊗ₚ¹ に k次元空間を拡張した構造を持つ。
• δ₁δ₂⁻¹ ≠ xᵏ|x| の場合、局所解析的表現 Σ(s) の双対は R⁺(δ₁) ⊗ₚ¹ に同型であり、δ₁δ₂⁻¹ = xᵏ|x| の場合、R⁺(δ₁) ⊗ₚ¹ に k次元空間を拡張した構造を持つ。
• この結果により、Breuilの非特異表現に対するΠ(V)ₐₙの構造に関する予想がEmertonの予想から従うことが示され、第一著者の以前の結果を一般化する。