[論文レビュー] Locally homogeneous geometric manifolds

William M. Goldman|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 79被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、開発写像とホロノミー表現を用いた表面における$(G,X)$-構造の分類を通じて、多様体上の局所的に均一な幾何構造を調査し、表面群表現の変形空間が豊かなシンプレクティックおよびポアソン幾何を引き継ぐことを明らかにする。主な貢献は、これらの変形空間を幾何構造のモジュライと特定し、$\mathsf{Mod}(\Sigma)$-不変のシンプレクティック構造および測地線長関数に結びついたハミルトニアンフローを備えたことにある。

ABSTRACT

Motivated by Felix Klein's notion that geometry is governed by its group of symmetry transformations, Charles Ehresmann initiated the study of geometric structures on topological spaces locally modeled on a homogeneous space of a Lie group. These locally homogeneous spaces later formed the context of Thurston's 3-dimensional geometrization program. The basic problem is for a given topology S and a geometry X = G/H, to classify all the possible ways of introducing the local geometry of G/H into S. For example, a sphere admits no local Euclidean geometry: there is no metrically accurate Euclidean atlas of the earth. One develops a space whose points are equivalence classes of geometric structures on S, which itself exhibits a rich geometry and symmetries arising from the topological symmetries of S. In this talk I will survey several examples of the classification of locally homogeneous geometric structures on manifolds in low dimension, and how it leads to a general study of surface group representations. In particular geometric structures are a useful tool in understanding local and global properties of deformation spaces of representations of fundamental groups.

研究の動機と目的

• 与えられた位相的表面$Σ$における$(G,X)$-構造をすべて分類すること、ここで$X = G/H$は同次空間である。
• このような幾何構造の同値類の空間を、自然な幾何的および力学的構造を備えた変形空間として理解すること。
• 表面群$Σ$の作用がこれらの変形空間に与える影響を、エルゴド性および対称性の観点から調べること。
• 基本群$π_1(Σ)$のリー群$G$への表現、特にホロノミー表現を通じて幾何構造と関係づけること。
• モジュライ空間${\rm Hom}(\pi_1(\Sigma), G)/G$のシンプレクティックおよびポアソン幾何と、ティヒミュラー理論および表面不変量との関連を調査すること。

提案手法

• $(G,X)$-構造を$\Sigma$上で一意に符号化するために、被覆空間上の開発写像$\mathsf{dev}: \tilde{\Sigma} \to X$とホロノミー表現$h: \pi_1(\Sigma) \to G$を用いる。
• 同値類のパラメータ付けを実現するため、$\mathsf{Def}^{(G,X)}(\Sigma)$を$\mathsf{Hom}(\pi_1(\Sigma), G)$を$G$内の共役作用で割った商として構成する。
• リー代数コホロロジーにおけるカップ積を用い、同型$T_\rho(\mathsf{Hom}/G) \cong Z^1(\Sigma, \mathfrak{g}_{\mathrm{Ad}\rho})$を介して、変形空間に自然なシンプレクティック構造を導入する。
• 関数$f_\alpha([\rho]) = f(\rho(\alpha))$（$G$-不変関数$f: G \to \mathbb{R}$）に関連するハミルトニアンベクトル場を定義し、曲線に沿ったねじれフロー（twist flows）を導く。
• 曲線の向き付き交差数を用いて、このような関数のポアソン括弧を解析し、位相と幾何の関連を明確にする。
• 再帰的表現の近傍における変形空間の芽が、カップ積$[\cdot, \cdot]_*$から生じる同次二次方程式で定義される二次錐と局所的に同型であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた表面$\Sigma$上に実現可能な同値でない$(G,X)$-構造はいくつ存在するか？
• RQ2 表面$\Sigma$における$(G,X)$-構造の変形空間に自然に生じる幾何的および力学的構造は何か？
• RQ3 $\mathsf{Mod}(\Sigma)$の変形空間への作用はどのように作用するのか？そのエルゴド性および固有性の性質は何か？
• RQ4 $\mathsf{Hom}(\pi_1(\Sigma), G)/G$のシンプレクティック幾何と、測地線長などの$\Sigma$の幾何的不変量との関係は何か？
• RQ5 $\mathsf{Hom}(\pi_1(\Sigma), G)/G$上のトレース関数のポアソン括弧は、表面$\Sigma$上の曲線の位相的交差をどのように反映するか？

主な発見

• 表面$\Sigma$における$(G,X)$-構造の変形空間は、自然に$\mathsf{Hom}(\pi_1(\Sigma), G)/G$と同一視され、リー代数コホロロジーにおけるカップ積からシンプレクティック構造を引き継ぐ。
• 再帰的表現における変形空間の芽は、カップ積$[\cdot, \cdot]_*$から生じる同次二次方程式で定義される二次錐と局所的に同型である。
• 測地線長関数$\ell_\alpha$に関連するハミルトニアンベクトル場は、単純閉曲線$\alpha$に台を持つ一般化されたねじれフロー（twist flows）に対応し、フェンケル＝ニーレンツのねじれフローを一般化する。
• $G = \mathsf{SL}(2,\mathbb{C})$の場合、ミンスキーは、シュットキー領域よりも大きい開集合を$\mathsf{Hom}(\mathbb{F}_n, G)/G$に取り、$\mathsf{Out}(\mathbb{F}_n)$の作用が固有であることを示した。
• Gがコンパクトである場合、変形空間の各連結成分における$\mathsf{Mod}(\Sigma)$の作用はエルゴド的であり、シンプレクティック測度を保存する。
• $\mathsf{Hom}(\pi_1(\Sigma), \mathsf{GL}(n,\mathbb{R}))/\mathsf{GL}(n,\mathbb{R})$上の関数のリー代数でトレースによって生成されるものと、ストリングトポロジーリー代数が同型であり、括弧のノルムは幾何的交差数$i(\alpha, \beta)$に等しい。