[論文レビュー] Log canonical thresholds on smooth varieties: the Ascending Chain Condition

Lawrence Ein, Mircea Mustaţă|ArXiv.org|Nov 26, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、特徴量が0の代数閉体上の一様な多様体におけるShokurovの上昇鎖条件（ACC）予想を、対数解体の技法と原点に中心を持つ除数への還元を用いて証明する。主な結果として、$n$次元の一様な多様体上の対数特異点閾値の集合がACCを満たすことが示され、さらにエタール還元を用いて商特異点をもつ多様体へと拡張される。

ABSTRACT

Building on results of Kollár, we prove Shokurov's ACC Conjecture for log canonical thresholds on smooth varieties, and more generally, on varieties with quotient singularities.

研究の動機と目的

• 次元$n$の一様な多様体におけるShokurovのACC予想を、対数特異点閾値に関して証明すること。
• エタール写像による一様な状況への還元を用いて、商特異点をもつ多様体へACC結果を拡張すること。
• 双有理幾何におけるフラップの終了予想と関連する一般の場合への基礎的ステップを提供すること。
• 一様な$n$次元多様体上の対数特異点閾値の集合が、無限に厳密に増加する部分列を含まないことを確立すること。

提案手法

• $R = k[[x_1,\dots,x_n]]$ とし、$f \in \frak{m}$ に対して、ペア$(R, f \times \frak{m})$ の対数解体を用いて、$\operatorname{lct}_0(f)$ を $\min_i \frac{k_i + 1}{a_i}$ として表現する。
• ここで $c = \operatorname{lct}_0(f)$ とし、$I$ を原点に中心を持つ除数をインデックスとするものとして、$q = \min_{i \in I} \left\{ \frac{1}{b_i} \left( \frac{k_i + 1}{c} - a_i \right) \right\}$ を定義する。
• 原点に中心を持つ除数 $E_j$ によって $\operatorname{lct}_0(f \cdot \frak{m}^q) = \operatorname{lct}_0(f)$ が計算され、かつこの閾値が原点に中心を持つ除数によって達成されることを示す。
• 閾値が原点に中心を持つ除数によって計算されるような対数解体の存在を用いて、一般の場合を特別な場合に還元する。
• 閾値が原点に中心を持つ除数によって計算されるならば、その閾値の列は無限に増加しえないというKollárの結果を適用する。
• 商特異点の場合はエタール写像を用いて一様な多様体へ還元し、codimension 1で対数特異点閾値がエタール写像に関して不変であることを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元$n$の一様な多様体上の対数特異点閾値の集合は、上昇鎖条件を満たすか？
• RQ2 対数特異点閾値のACC予想を、一様な多様体から商特異点をもつ多様体へ拡張できるか？
• RQ3 特異多様体上の対数特異点閾値の計算を、一様な多様体上のものへ一様に還元する方法はあるか？
• RQ4 最小値が最初はこのような除数によって達成されない場合でも、対数解体において原点に中心を持つ除数によって閾値が計算可能か？
• RQ5 形式的べき級数の設定が、対数特異点閾値の極限点を分析する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 一様な$n$次元多様体上の対数特異点閾値の集合 $\mathcal{T}_n$ は、上昇鎖条件を満たす。つまり、無限に厳密に増加する部分列は存在しない。
• 任意の $f \in \frak{m} \subset k[[x_1,\dots,x_n]]$ に対して、$\operatorname{lct}_0(f^r)$ が原点に中心を持つ除数によって計算されるような $r > 0$ が存在する。
• 適切な $q > 0$ に対して、$\operatorname{lct}_0(f \cdot \frak{m}^q) = \operatorname{lct}_0(f)$ が成り立ち、$f$ の対数特異点閾値が最大イデアル $\frak{m}$ のべき乗を乗じても保存されることを示す。
• 結果はイデアルへ拡張可能であり、次元$n$の一様な多様体$X$に対して $\operatorname{lct}_p(X, \mathfrak{a})$ は $n \cdot \mathcal{T}_n$ に属し、これはACCを満たす。
• 商特異点をもつ多様体に対しては、$\operatorname{lct}_p(X, \mathfrak{a}) = \operatorname{lct}_q(U, \mathfrak{b})$ を満たす一様な$U$とイデアル$\mathfrak{b}$ が存在するため、ACC性質がこの場合へも持ち上がる。
• 系3.6は、商特異点をもつ$n$次元多様体上の対数特異点閾値の集合がACCを満たすことを確認する。