[論文レビュー] Log Diameter Rounds Algorithms for $2$-Vertex and $2$-Edge Connectivity

Alexandr Andoni, Clifford Stein+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 42被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、無向グラフにおける2辺連結性および2頂点連結性の完全スケーラブルなMPCアルゴリズムを提示する。それぞれ、グラフの直径Dおよび双方向径D′に依存するO(log D log log(m/n) n)およびO(log D log² log(m/n) n + log D′ log log(m/n) n)の並列時間で実行される。アルゴリズムは、木分解、LCA、RMQ技術を用いて、グラフの直径に比べて部分対数的ラウンド数で橋および2連結成分を効率的に同定する。

ABSTRACT

Many modern parallel systems, such as MapReduce, Hadoop and Spark, can be modeled well by the MPC model. The MPC model captures well coarse-grained computation on large data --- data is distributed to processors, each of which has a sublinear (in the input data) amount of memory and we alternate between rounds of computation and rounds of communication, where each machine can communicate an amount of data as large as the size of its memory. This model is stronger than the classical PRAM model, and it is an intriguing question to design algorithms whose running time is smaller than in the PRAM model. In this paper, we study two fundamental problems, $2$-edge connectivity and $2$-vertex connectivity (biconnectivity). PRAM algorithms which run in $O(\log n)$ time have been known for many years. We give algorithms using roughly log diameter rounds in the MPC model. Our main results are, for an $n$-vertex, $m$-edge graph of diameter $D$ and bi-diameter $D'$, 1) a $O(\log D\log\log_{m/n} n)$ parallel time $2$-edge connectivity algorithm, 2) a $O(\log D\log^2\log_{m/n}n+\log D'\log\log_{m/n}n)$ parallel time biconnectivity algorithm, where the bi-diameter $D'$ is the largest cycle length over all the vertex pairs in the same biconnected component. Our results are fully scalable, meaning that the memory per processor can be $O(n^δ)$ for arbitrary constant $δ>0$, and the total memory used is linear in the problem size. Our $2$-edge connectivity algorithm achieves the same parallel time as the connectivity algorithm of Andoni et al. (FOCS 2018). We also show an $Ω(\log D')$ conditional lower bound for the biconnectivity problem.

研究の動機と目的

• MPCモデルにおいて、従来のPRAM手法よりも時間計算量を改善した、2辺連結性および2頂点連結性の完全スケーラブルな並列アルゴリズムの設計。
• nではなくグラフの直径Dおよび双方向径D′に依存する実行時間の達成により、直径が小さいグラフにおいてより高速な性能を実現。
• 2辺連結性がO(log D log log(m/n) n)時間で解けることを示し、MPCモデルにおける既知の最良の連結性アルゴリズムと同等の性能を達成。
• 2頂点連結性の条件付き下界を確立し、広く受け入れられている「1サイクル対2サイクル」の予想に基づいて、Ω(log D′)時間が必要であることを示す。

提案手法

• ランダム化された木分解技術を用いて、直径(G)^O(log log(m/n) n)以下の深さの生成木を構築する。
• 木における最小共通祖先を計算するための、線形作業量かつO(log(dep(par)))時間のLCAアルゴリズムをサブルーチンとして使用する。
• 範囲最小値クエリ（RMQ）技術を適用して橋および2連結成分を同定し、小さな部分木は局所的に処理し、大きな部分木は特別なRMQデータ構造を用いる。
• MPCモデルが任意のδ > 0に対して各マシンでO(n^δ)のメモリを使用できることを活用し、総記憶容量が任意のγ > 0に対してO(m^{1+γ})となるように、完全スケーラブル性を確保する。
• 1サイクル対2サイクル問題への還元を用いて、2頂点連結性の条件付き下界を証明し、予想が正しければΩ(log D′)時間が必要であることを示す。
• 最終段階で、ソーティング、LCAクエリ、成分ラベル付けを組み合わせて2連結成分を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MPCモデルにおいて、各プロセッサのメモリが完全にスケーラブル（任意のδ > 0に対してO(n^δ)）である場合、2辺連結性はO(log D log log(m/n) n)時間で解けるか？
• RQ2 双方向径D′を用いて、2頂点連結性はO(log D log² log(m/n) n + log D′ log log(m/n) n)時間で解けるか？
• RQ3 MPCモデルにおける2頂点連結性に、双方向径D′に依存する条件付き下界が存在するか？
• RQ4 提案されたアルゴリズムは、任意のδ > 0に対して各マシンでO(n^δ)のメモリを使用し、入力サイズに線形な総記憶容量を維持する完全スケーラブル性を満たしているか？

主な発見

• 2辺連結性アルゴリズムはO(log D log log(m/n) n)の並列時間で実行され、O(m^{1+γ})の総記憶容量を用い、MPCモデルにおけるグラフ連結性の最良時間と一致する。
• 2頂点連結性アルゴリズムはO(log D log² log(m/n) n + log D′ log log(m/n) n)の時間で実行され、同じ総記憶容量の複雑さを示し、完全スケーラブルである。
• 本稿では条件付き下界を確立した：「1サイクル対2サイクル」の予想が正しければ、2頂点連結性のMPCアルゴリズムはΩ(log D′)時間が必要である。
• 両アルゴリズムの正しさは高い確率（2頂点連結性では0.97以上、2辺連結性では0.99以上）で保証され、ランダム化された木構築およびLCA/RMQサブルーチンに依存する。
• アルゴリズムは完全スケーラブルであり、任意の定数δ > 0に対して各マシンのメモリサイズがO(n^δ)であり、総記憶容量は入力サイズに線形に保たれる。
• 木分解、LCA、RMQ技術を活用することで、既知の効率的なMPC実装が可能なサブルーチンに問題を還元している。