[論文レビュー] Log differentiable spaces and manifolds with corners

W. D. Gillam, Samouil Molcho|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、代数的幾学から微分幾学へと対数幾学を拡張する一般理論を構築し、多様体の角付き部分と対数滑らか空間における特異点の解消を組合せ論的および幾何的技法を用いて定式化する枠組みを確立する。主な貢献は、fs 対数微分可能空間に対する解消定理であり、自由部分に沿って同型となる、局所的に射影的で全射的かつ対数滑らかな、自由対数空間からの準同型写像の存在を示している。

ABSTRACT

We develop a general theory of log spaces, in which one can make sense of the basic notions of logarithmic geometry, in the sense of Fontaine-Illusie-Kato. Many of our general constructions with log spaces are new, even in the algebraic setting. In the differentiable setting, our theory yields a framework for treating manifolds with corners generalizing recent work of Kottke-Melrose. We give a treatment of the theory of fans, which are to monoids as schemes are to rings. By adapting similar results from logarithmic algebraic geometry, we prove a general result on resolution of toric singularities which can be used to resolve singularities of a wide class of "log smooth" spaces.

研究の動機と目的

• 角付き多様体を対象として、対数幾学を代数的設定から微分的設定へと拡張すること。
• ファイバー積や基底変換といった函子的構成をサポートする、対数微分可能空間の圏を形式化すること。
• 微分的設定における対数幾学の組合せ論的モデルとしてのファンとモノイド空間の理論を構築すること。
• 対数滑らかおよび fs 対数微分可能空間に対する特異点の解消定理を確立すること。
• Kottke-Melrose および Joyce の枠組みを、より広範な対数幾何的文脈に埋め込むことによる一般化。

提案手法

• 乗法に関するモノイド対象 R+ を用いて、角付き多様体の一般化として対数微分可能空間を定義する。
• 対数空間の「境界」の概念を導入し、これは Joyce の角付き多様体の境界およびトーリック除数の両方を一般化する。
• 飽和関手 X ↦ X^sat を構成し、飽和対数空間からの写像のなかで終端的となる飽和対数空間を生成する。
• Kato の細分の圏を用いて、解消写像を導く終端対象を構成する。
• fs 鋭いモノイド空間の「標準的解消」（イデアルの吹き上げを用いて）を適用し、PLDS（折りたたみ線形微分可能空間）の圏に実現する。
• 基底変換および実現定理を用いて、解消写像の対数滑らか性と被覆写像性（ホメオモルフィズム）を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対数幾学を代数的設定から微分的設定へ体系的に拡張する方法は何か？
• RQ2 対数幾何的構造（たとえば対数接束）を保つ角付き多様体間の適切な準同型写像の概念は何か？
• RQ3 形式的滑らか性に依存せずに、微分的圏における対数滑らか空間の特異点解消が達成可能か？
• RQ4 ファンとモノイド空間は、対数微分可能空間の組合せ論的モデルとしてどのように機能するか？
• RQ5 境界構成は、微分幾学と代数幾学における異なる境界の概念を統合する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の fs 対数微分可能空間 X に対して、局所的に射影的で全射的かつ対数滑らかで、X の自由部分に沿って同型となる、終端的解消写像 r: X′ → X が構成される。
• 整数的正の対数微分可能空間 X に対して、解消空間 X′ は角付き多様体であり、解消写像 r: X′ → X は局所的に射影的で全射的かつ対数滑らかな PLDS 準同型写像である。
• 解消写像は、fs 鋭いモノイド空間の標準的解消を、イデアルの吹き上げを用いて PLDS 圏に実現することで構成される。
• 飽和処理 X ↦ X^sat は、飽和対数空間からの写像のなかで終端的となる飽和対数空間を生成し、この写像は対数滑らかで被覆写像（ホメオモルフィズム）である。
• ファンから PLDS への実現関手は、対数滑らか性、全射性、および基底変換との整合性といった重要な性質を保つ。
• 理論は既存の枠組みを統合・一般化する。Kottke-Melrose の b-写像は内部 b-写像として回復され、Joyce の角付き多様体はより広範な対数幾何的圏に埋め込まれる。