[論文レビュー] Log Rigid Syntomic Cohomology for Strictly Semistable Schemes

Kazuki Yamada|arXiv (Cornell University)|May 14, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$p$-進体の整数環上の厳密に半安定なスキームに対して、対象の有理型フィルトレーション付き$(\phi,N)$-モジュールの拡張群として定義される、対数的剛体シントミックコホモロジーを導入する。このコホモロジーは絶対$ p $-進ホッジコホモロジーを実現し、$ p $-進ベイリンソン予想のフレームワークを提供するとともに、$ p $-進ホッジ理論を用いた明示的計算を可能にする。

ABSTRACT

We construct log rigid syntomic cohomology for strictly semistable schemes over the ring of integers of a p-adic field, and prove that it is interpreted as the extension group of the complex of admissible filtered $(ϕ,N)$-modules.

研究の動機と目的

• $ V $、すなわち$ p $-進体の整数環上の厳密に半安定なスキームのためのコホモロジー理論を定義し、絶対$ p $-進ホッジコホモロジーを実現すること。
• 滑らかでないスキーム、特に良い還元をもつ可能性のあるものを含む、剛体シントミックコホモロジー理論を滑らかでないスキームへと拡張すること。
• 特に還元が悪いスキームに対しても適応可能なコホモロジー的枠組みを提供し、$ p $-進ベイリンソン予想と整合性を持つこと。
• アドミッスィブ有理型フィルトレーション付き$(\phi,N)$-モジュールの導来圏を用いて、$ K $-理論からシントミックコホモロジーへのチャーン類写像を確立すること。

提案手法

• 対数的剛体シントミックコホモロジーを $ H^i_{\mathrm{syn}}(\mathcal{X},n) = \operatorname{Ext}^i_{p\mathrm{HD}_K}(K_0, \mathbb{R}\Gamma_{\mathrm{Hdg}}(\mathcal{X})(n)) $ として構成する。ここで $ \mathbb{R}\Gamma_{\mathrm{Hdg}}(\mathcal{X}) $ は$ p $-進ホッジ複体である。
• 一般化されたゴデメント分解を用いて対数的剛体コホモロジーを定義し、複体上にフロベニウス作用素およびモノドロミー作用素を構成する。
• 同型 $ \Theta: D^b(\mathrm{MF}^{\mathrm{ad}}_K(\phi,N)) \to \widetilde{p\mathrm{HD}_K} $ を確立し、シントミックコホモロジーとアドミッスィブ有理型フィルトレーション付き$(\phi,N)$-モジュールの拡張群との間の関係を結ぶ。
• $(\phi,N)$-モジュールの導来圏における普遍的チャーン類を用いて、シントミックチャーン類写像 $ c_{\mathrm{syn}}: K_i(\mathcal{X}) \to H^{2j-i}_{\mathrm{syn}}(\mathcal{X},j) $ を定義する。
• 厳密に半安定なスキームでハイドー・カトー条件（HK）を満たす場合に理論を適用し、既知の$ p $-進ホッジ理論と整合することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 還元が悪い可能性のある厳密に半安定なスキームに対して、剛体シントミックコホモロジーをどのように拡張できるか。
• RQ2 対数的剛体シントミックコホモロジーは、アドミッスィブ有理型フィルトレーション付き$(\phi,N)$-モジュールの拡張群として解釈可能か。
• RQ3 $ p $-進ホッジ複体は、厳密に半安定なスキームに対して、de Rhamコホモロジーと対数的剛体コホモロジーをどのように統一するか。
• RQ4 $ p $-進ベイリンソン予想の文脈において、$ K $-理論からシントミックコホモロジーへのチャーン類写像はどのように振る舞うか。
• RQ5 対数的剛体シントミックコホモロジーと$ p $-進ホッジ複体の導来圏との関係は何か。

主な発見

• 対数的剛体シントミックコホモロジーは、導来圏 $ p\mathrm{HD}_K $ 内の$ p $-進ホッジ複体 $ \mathbb{R}\Gamma_{\mathrm{Hdg}}(\mathcal{X}) $ の拡張群として定義され、絶対$ p $-進ホッジ理論のコホモロジー的実現を提供する。
• $ \mathcal{X} $ がハイドー・カトー条件を満たすとき、コホモロジー $ H^i_{\mathrm{syn}}(\mathcal{X},n) $ はアドミッスィブ有理型フィルトレーション付き$(\phi,N)$-モジュールの拡張群と同型である。
• チャーン類写像 $ c_{\mathrm{syn}}: K_i(\mathcal{X}) \to H^{2j-i}_{\mathrm{syn}}(\mathcal{X},j) $ は、$(\phi,N)$-モジュールの導来圏における普遍的チャーン類を用いて構成される。
• この構成は、$ D\mathcal{R}_{\mathrm{Hdg}} $ が混合モチーフの導来圏を通るというモチーフ的枠組みと整合する。
• 理論は、明示的な$ p $-進解析および$ L $関数の計算に適した、シントミックコホモロジーの$ p $-進ホッジ理論的解釈を提供する。