[論文レビュー] $p$-adic Beilinson conjecture for ordinary Hecke motives associated to imaginary quadratic fields

Kenichi Bannai, Guido Kings|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、類数1の虚二次体に関連する通常のヘッケモチーフについて、$p$-adic エーゲンスタイン級数と測度を用いて、$p$-adic $L$-関数の非臨界点における補間性質を確立することで、$p$-adic ベイリノン予想を証明する。主な結果は、$p \geq 5$ が通常であり、$K$ において不分岐であると仮定した下で、$\psi^a$ に対して予想が正当化され、$p$-adic $L$-値が $\Gamma$-因子と複素周期を含む正確な式によってレギュレーターと関連付けられることを示している。

ABSTRACT

The purpose of this article is to give an overview of the series of papers [BK1], [BK2] concerning the $p$-adic Beilinson conjecture of motives associated to Hecke characters of an imaginary quadratic field $K$, for a prime $p$ which splits in $K$.

研究の動機と目的

• 類数1の虚二次体に関連する通常のヘッケモチーフに対する $p$-adic ベイリノン予想を証明すること。
• $\psi$ を複素乗法を持つ楕円曲線のグロッセンキャラクターとするとき、$\psi^a$ に対して非臨界点における $p$-adic $L$-関数の補間性質を確立すること。
• $\psi^a$ の臨界値を補間する $\mathbb{Z}_p^\times$ 上の $p$-adic 測度（または擬測度）を構成すること。
• $p \geq 5$ が通常であり、$K$ において不分岐であると仮定した下で、$p$-adic $L$-値とレギュレーター、複素周期との間の予想される公式を検証すること。

提案手法

• 著者たちは、モジュラー形式とガロア作用の理論を用いて、$p$-adic エーゲンスタイン級数を用いて、$\mathbb{Z}_p^\times \times \mathbb{Z}_p^\times$ 上の測度 $\mu_{\varphi_a}$ を構成する。
• 導手 $\mathfrak{f}_a = (1)$ のとき、測度 $\mu^{\prime a}$ を正規化因子 $\mu^a_N$ で割ることで、$\mathbb{Z}_p^\times$ 上の擬測度 $\mu^a$ を定義する。
• $p$-adic $L$-関数は、積分 $L_p(\psi^a \otimes \chi_{\text{cyc}}^n) = \int_{\mathbb{Z}_p^\times} w^n \mu^a(w)$ として定義され、これは非臨界点における $L(\psi^a, n)$ の値を補間する。
• $p$-adic 周期 $\Omega_p(n)$ は、$p$-adic エーゲンスタイン級数とモジュラー曲線上のフロベニウス作用の作用を介して計算され、これによりレギュレーターと関連づけられる。
• フロベニウス作用素とモジュラー曲線の幾何学の整合性が、$p$-adic $L$-関数の正しい補間を保証する。
• 証明は、$p$-adic レギュレーター写像が単射であること、および $\mathbb{R}$ 上でベイリノンレギュレーターが既知に全射であることの両方に依存している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p$-adic エーゲンスタイン級数を用いて構成された $p$-adic $L$-関数は、$\psi^a$ の $L$-関数の臨界値を非臨界点で補間するか？
• RQ2 類数1の虚二次体上の通常のヘッケモチーフに対して、$p$-adic ベイリノン予想を検証できるか？
• RQ3 $p$-adic $L$-関数は、複素周期 $\Omega_\infty(n)$ と $p$-adic レギュレーターとどのように関係するか？
• RQ4 $\Gamma$-因子、複素周期、$p$-adic 測度を用いた $p$-adic $L$-値の正確な式は何か？
• RQ5 導手 $\mathfrak{f}_a = (1)$ のとき、$p$-adic 測度の補間性質はどのように影響を受けるか？

主な発見

• $p \geq 5$ が通常であり、$K$ において不分岐であると仮定した下で、$p$-adic レギュレーター写像が単射であると仮定した場合、$\psi^a$ に対して $p$-adic ベイリノン予想が証明される。
• $p$-adic $L$-関数 $L_p(\psi^a \otimes \chi_{\text{cyc}}^n)$ は、$p$-adic エーゲンスタイン級数から構成された擬測度 $\mu^a$ を用いて、積分 $\int_{\mathbb{Z}_p^\times} w^n \mu^a(w)$ として与えられる。
• すべての整数 $n > a$ に対して、公式 $\frac{L_p(\psi^a \otimes \chi_{\text{cyc}}^n)}{\Omega_p(n)} = \left(1 - \frac{\psi(\mathfrak{p})^a}{p^n}\right)\left(1 - \frac{\overline{\psi}(\mathfrak{p}^*)^a}{p^{a+1-n}}\right)\frac{\Gamma(n)L(\psi^a, n)}{\Omega_\infty(n)}$ が成り立つ。
• $\mathfrak{f}_a \neq (1)$ のとき、測度 $\mu^a$ は真の $p$-adic 測度である。一方、$\mathfrak{f}_a = (1)$ のときは、発散因子を相殺するために $\mu^a_N$ を用いた正規化が必要となる。
• $p$-adic 周期 $\Omega_p(n)$ は $\frac{(-1)^{a-n+1}}{\Gamma(n)} \Omega^a_\mathfrak{p} E_{n,a-n,\varphi_a}(E,\omega,\nu)$ として計算され、これにより $p$-adic と複素周期が関連づけられる。
• 測度 $\widetilde{\mu}_{\varphi_a}$ の補間性質は、カツとヤーゲーによって構成された二変数 $p$-adic $L$-関数と一致し、既知の構成と整合性が確認される。