[論文レビュー] Logarithmic correlation functions for critical dense polymers on the cylinder

Alexi Morin-Duchesne, Jesper Lykke Jacobsen|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 74被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、XXスピンチェーンにおける拡大周期的Temperley-Lieb代数を用いて、半無限の円筒上の臨界密なポリマーに対する格子相関関数を計算し、正確な有限nの表現およびn→∞における漸近的挙動を導出する。c = −2およびコンフォーマル次元∆ = −1/8または∆ = 0を持つ対数的コンフォーマル場理論（LCFT）構造を特定し、コンフォーマル四点関数が満たす微分方程式を導出し、超幾何関数を用いて解き、格子結果と完全に一致させ、境界条件を変える場の非アーベル的結合を明らかにする。

ABSTRACT

We compute lattice correlation functions for the model of critical dense polymers on a semi-infinite cylinder of perimeter $n$. In the lattice loop model, contractible loops have a vanishing fugacity whereas non-contractible loops have a fugacity $\\alpha\\in(0,\\infty)$. These correlators are defined as ratios $Z(x)/Z_0$ of partition functions, where $Z_0$ is a reference partition function wherein only simple arcs are attached to the boundary of the cylinder. For $Z(x)$, the boundary is also decorated with simple arcs, but it also has two positions $1$ and $x$ where the boundary condition is different. We investigate two such kinds of boundary conditions: (i) there is a single node at each of these points where a long arc is attached, and (ii) there are pairs of adjacent nodes at these points where two long arcs are attached. We find explicit expressions for these correlators for finite $n$ using the representation of the enlarged periodic Temperley-Lieb algebra in the XX spin chain. The resulting asymptotics as $n\ o\\infty$ are expressed as simple integrals that depend on the parameter $\ au=\\frac{x-1}n\\in(0,1)$. For small $\ au$, the leading behaviours are proportional to $\ au^{1/4}$, $\ au^{1/4}\\log \ au$, $\\log\ au$ and $\\log^2\ au$. We interpret the lattice results in terms of ratios of conformal correlation functions. We assume that the corresponding boundary changing fields are highest weight states in irreducible, Kac or staggered Virasoro modules, with central charge $c=-2$ and conformal dimensions $\\Delta = -\\frac18$ or $\\Delta=0$. We obtain differential equations satisfied by the conformal correlators, solve these equations, and find a perfect agreement with the lattice results. We compute structure constants and ratios thereof which appear in the operator product expansions of the boundary condition changing fields. The fusion of these fields is found to be non-abelian.

研究の動機と目的

• 半無限の円筒上における臨界密ポリマーの正確な格子相関関数を、単一および二重のエントリポイントという二種類の境界条件の変更を伴って計算すること。
• これらの相関関数が円筒の周囲長n→∞の極限における漸近的挙動を、スケーリングパラメータτ = (x−1)/nで表すこと。
• 境界条件を変える場を、c = −2を持つ不変、Kac、またはステアガードVirasoroモジュールにおける最高重量状態として特定することで、格子結果をコンフォーマル場理論の観点から解釈すること。
• コンフォーマル四点関数を支配する微分方程式を特定し、超幾何関数を用いて解くこと。
• 境界場の演算子積展開（OPE）における構造定数およびその比を計算し、非アーベル的結合を明らかにすること。

提案手法

• 非可縮性ループに対して固有の自由度α、可縮性ループに対しては0を割り当てた格子ループ模型を記述するため、XXスピンチェーンにおける拡大周期的Temperley-Lieb代数の表現を用いる。
• 格子相関関数を、Z₀（境界上に単純な半円弧のみを有する基準の分配関数）に対する分配関数の比Z(x)/Z₀として定義する。
• スピンチェーンの枠組み内で正確な固有値分解技術を用いて、単一および二重エントリポイントの精製分配関数を計算する。
• n→∞の極限における格子結果の漸近的解析を行い、τ = (x−1)/n ∈ (0,1)に依存する積分として、主要な挙動を表現する。
• 境界場がc = −2および∆ = −1/8または∆ = 0を持つVirasoroモジュールにおける最高重量状態であると仮定し、コンフォーマル四点関数に対して2階および3階の微分方程式を導出する。
• 微分方程式を超幾何関数を用いて解き、格子データとの整合性を検証することで、OPEの構造定数の計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 円筒上の臨界密ポリマーに対する格子相関関数は、周囲長n→∞の極限においてどのように漸近的に振る舞い、スケーリングパラメータτ = (x−1)/nで表される主要な挙動は何か？
• RQ2 格子相関関数のコンフォーマル場理論的解釈は何か？境界条件を変える場を記述するVirasoroモジュール構造（不変、Kac、またはステアガード）はどれか？
• RQ3 LCFT記述におけるコンフォーマル四点関数を支配する微分方程式は何か？そして、特殊関数を用いて正確に解けるか？
• RQ4 境界場のOPEにおける構造定数およびその比は、格子結果とどのように関係し、これにより結合代数に何が示唆されるか？
• RQ5 境界条件を変える場の結合は非アーベル的か？その特徴はコンフォーマルおよび格子データにどのように現れるか？

主な発見

• 単一エントリポイントにおける格子相関関数の漸近的挙動は、τが小さいとき、τ^{1/4}、τ^{1/4} log τ、log τ、log² τに比例し、明示的な積分表現が導出された。
• 二重エントリポイントでは、τ^{1/4}、τ^{1/4} log τ、およびlog τに比例する項を含み、同じスケーリング構造がコンフォーマル極限でも観察された。
• コンフォーマル四点関数は、c = −2におけるVirasoro代数から導かれる2階および3階の微分方程式を満たし、超幾何関数を用いて正確に解かれた。
• 微分方程式の解は格子結果と完全に一致し、境界場がKacまたはステアガードモジュールにおける最高重量状態として特定されていることを確認した。
• OPEにおける構造定数およびその比は、格子データから計算され、φ、µ、およびωの場に対して非アーベル的結合代数が明らかになった。
• β = 0におけるデジェネラシー∆1,3 = ∆1,1により、場ω(z)が対数的場として特定され、非可分解表現および相関関数における対数的挙動が生じた。