[論文レビュー] Logarithmic Singularities and Maximally Supersymmetric Amplitudes

Zvi Bern, Enrico Herrmann+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 112被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、平面的${\cal N}=4$超ヤン・ミルズ振幅の特徴である対数的特異点と無限遠点における極の不在が、すべてのループ次数において非平面的領域へと拡張されることを提案する。ユニタリティと$d{\rm log}$形式を用いて、三ループ四点振幅の明示的な積分子基底を構築し、これらの解析的制約が双対共形対称性よりも制限が厳しいことを示し、${\cal N}=8$超重力理論においても同様の振る舞いの証拠を提供する。

ABSTRACT

The dual formulation of planar N = 4 super-Yang-Mills scattering amplitudes makes manifest that the integrand has only logarithmic singularities and no poles at infinity. Recently, Arkani-Hamed, Bourjaily, Cachazo and Trnka conjectured the same singularity properties hold to all loop orders in the nonplanar sector as well. Here we conjecture that to all loop orders these constraints give us the key analytic information contained in dual conformal symmetry. We also conjecture that to all loop orders, while N = 8 supergravity has poles at infinity, at least at four points it has only logarithmic singularities at finite locations. We provide nontrivial evidence for these conjectures. For the three-loop four-point N = 4 super-Yang-Mills amplitude, we explicitly construct a complete basis of diagram integrands that has only logarithmic singularities and no poles at infinity. We then express the complete amplitude in terms of the basis diagrams, with the coefficients determined by unitarity. We also give examples at three loops showing how to make the logarithmic singularity properties manifest via dlog forms. We give additional evidence at four and five loops supporting the nonplanar logarithmic singularity conjecture. Furthermore, we present a variety of examples illustrating that these constraints are more restrictive than dual conformal symmetry. Our investigations show that the singularity structures of planar and nonplanar amplitudes in N = 4 super-Yang-Mills are strikingly similar. While it is not clear how to extend either dual conformal symmetry or a dual formulation to the nonplanar sector, these results suggest that related concepts might exist and await discovery. Finally, we describe the singularity structure of N = 8 supergravity at three loops and beyond.

研究の動機と目的

• 平面的${\cal N}=4$超ヤン・ミルズ振幅に特徴的な対数的特異点構造と無限遠点における極の不在が、すべてのループ次数において非平面的領域へと拡張されるかどうかを調査すること。
• これらの解析的制約が非平面的振幅において双対共形対称性よりも制限が厳しいかどうかを特定すること。
• ${\cal N}=8$超重力振幅の特異点構造、特に四点振幅について調査し、有限な位置にのみ対数的特異点を示すかどうかを検証すること。
• ユニタリティと$d{\rm log}$形式を用いて、望ましい特異点性質を持つ積分子基底を体系的に構築する方法を開発すること。
• これらの制約が非平面的理論における双対共形対称性の核心的な解析的情報を、積分子レベルで捉えている証拠を提供すること。

提案手法

• 三ループ四点${\cal N}=4$ sYM振幅の、対数的特異点のみで無限遠点に極を持たない積分子基底を完全に構築する。
• ユニタリティ制約を適用して、基底積分子の係数を決定し、全振幅が望ましい特異点構造を満たすように保証する。
• $d{\rm log}$形式を用いて、三ループにおける対数的特異点性質を明示的にし、積分子構造の幾何的実現を提供する。
• 七ループまでを含む高次のループへの拡張により、非平面的対数的特異点予想の証拠を集める。
• BCJ双対性を活用して、${\cal N}=4$ sYMの積分子構造を${\cal N}=8$超重力のそれへ写像し、その特異点構造を解析可能にする。
• 得られた積分子構造を、積分による部分積分（IBP）還元やマスタインテグラル基底と比較して、整合性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面的${\cal N}=4$ sYM振幅の対数的特異点および無極性（無限遠点に極なし）の性質が、すべてのループ次数において非平面的領域へも継続するか。
• RQ2 非平面的振幅において、対数的特異点と無極性という解析的制約が、双対共形対称性よりも制限が厳しいか。
• RQ3 ${\cal N}=8$超重力の四点振幅は、無限遠点に極を持つにもかかわらず、有限な位置にのみ対数的特異点を示すか。
• RQ4 $d{\rm log}$形式を体系的に用いて、非平面的積分子における対数的特異点構造を明示的に表現できるか。
• RQ5 非平面的振幅における基底積分子の係数が、ラング則のようなパターンに従う程度はどの程度か。これにより、より深い構造的性質が示唆されるか。

主な発見

• 三ループ四点${\cal N}=4$ sYM振幅が、対数的特異点のみで無限遠点に極を持たない積分子基底において明示的に構築され、係数はユニタリティにより決定された。
• 著者らは、基底積分子の係数がラング則と整合する簡単なパターンに従うのを発見し、体系的な背後構造の存在を示唆した。
• 三ループにおいて、$d{\rm log}$形式を用いて対数的特異点構造を明示的にし、積分子の解析的性質の幾何的・代数的実現を提供した。
• 七ループまでをカバーする解析により、非平面的${\cal N}=4$ sYM振幅が対数的特異点のみで無限遠点に極を持たないという予想を支持する証拠を集めた。
• ${\cal N}=8$超重力では、三ループ四点積分子が有限な位置にのみ対数的特異点を持つことが示されたが、無限遠点に極があり、その次数はループ次数とともに増加した。
• 本研究により、対数的特異点からの解析的制約が双対共形対称性よりも制限が厳しいことが示され、これらが対称性そのものを超えて理論の積分子レベルにおける本質的構造を捉えている可能性があることが明らかになった。