[論文レビュー] Logarithmic singularities of Schwartz kernels and local invariants of conformal and CR structures

Raphaël Ponge|ArXiv.org|Oct 31, 2007

Holomorphic and Operator Theory参考文献 42被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、共形幾何におけるフェッファーマン＝グラハムのアンビエント計量と、CR幾何におけるフェッファーマンのケーラー＝ローレンツアンビエント計量を用いて、共形的およびCR不変な擬微分作用素のシュワーツ核およびグリーン核の対数特異点が、それぞれウェイリ共形不変量およびCR不変量の線形結合として表現可能であることを確立する。主な貢献は、両設定におけるGJMS作用素のグリーン核の対数特異点に対する不変的・幾何的表現であり、特にCRヤマベ作用素およびパネイツ型作用素について、曲率テンソルおよび不変量を用いた明示的公式が得られる。

ABSTRACT

This paper consists of two parts. In the first part we show that in odd dimension, as well as in even dimension below the critical weight (i.e. half the dimension), the logarithmic singularities of Schwartz kernels and Green kernels of conformal invariant pseudodifferential operators are linear combinations of Weyl conformal invariants, i.e., of local conformal invariants arising from complete tensorial contractions of the covariant derivatives of the Lorentz ambient metric of Fefferman-Graham. In even dimension and above the critical weight exceptional local conformal invariants may further come into play. As a consequence, this allows us to get invariant expressions for the logarithmic singularities of the Green kernels of the GJMS operators (including the Yamabe and Paneitz operators). In the second part, we prove analogues of these results in CR geometry. Namely, we prove that the logarithmic singularities of Schwartz kernels and Green kernels of CR invariant Heisenberg pseudodifferential operators give rise to local CR invariants, and below the critical weight are linear combinations of complete tensorial contractions of the covariant derivatives of Fefferman's Kälher-Lorentz ambient metric. As a consequence, we can obtain invariant descriptions of the logarithmic singularities of the Green kernels of the CR GJMS operators of Gover-Graham (including the CR Yamabe operator of Jerison-Lee).

研究の動機と目的

• 共形不変な擬微分作用素のシュワーツ核およびグリーン核の対数特異点を、局所的共形不変量の観点から特徴付けること。
• この特徴付けをCR不変ヘイゼンベルク擬微分作用素へと拡張し、その特異点が局所的CR不変量とどのように関係するかを明らかにすること。
• 共形およびCR両設定におけるGJMS作用素のグリーン核の対数特異点に対して、不変的・幾何的表現を与えること。
• 奇数次元および臨界重み未満の偶数次元におけるこれらの特異点の構造を解明し、臨界重みを超える場合に現れる例外的不変量を同定すること。
• 両幾何における特異点が、それぞれのアンビエント計量の共変微分の完全な縮約としての線形結合であることを確立すること。

提案手法

• 計量変更におけるシュワーツ核およびグリーン核特異点の共形変換則を用い、パーカー＝ローゼンバーグ、ギルキー、ペイシャ＝ローゼンバーグらの先行結果を一般化する。
• リーマン不変な擬微分作用素の対数特異点が、曲率テンソルの微分の完全な縮約として表現可能な局所的リーマン不変量であることを証明する。
• ベイリー＝イーストウッド＝グレアムおよびグレアム＝ヒラチによる局所的共形不変量の分類を応用し、奇数次元および臨界重み未満の偶数次元において、これらの不変量がウェイリ共形不変量であることを示す。
• フェッファーマン＝グラハムのアンビエント計量のリッチ平坦性を活用し、独立なウェイリ共形不変量の数を削減し、特異点構造を精緻化する。
• ヘイゼンベルク計算とフェッファーマンのケーラー＝ローレンツアンビエント計量を用いて、この手法をCR幾何へ適応し、特異点が共形的に変化し、局所的CR不変量であることを証明する。
• CR版の分類結果を適用し、臨界重み未満の特異点が、アンビエント曲率から導かれるウェイリCR不変量の線形結合であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共形不変な擬微分作用素のグリーン核の対数特異点は、どのように局所的共形不変量と関係するか？
• RQ2 ウェイリ共形不変量は、奇数次元および臨界重み未満の偶数次元において、これらの特異点を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ3 臨界重み以上に達する偶数次元では、どのようにして例外的局所的共形不変量（ベイリー＝ゴーバー）が生じるか？
• RQ4 CR不変ヘイゼンベルク擬微分作用素は、その核特異点を通じて、どれほどまでに局所的CR不変量を生じさせるか？
• RQ5 CR GJMS作用素（例：CRヤマベ作用素）の対数特異点に対して、不変表現を導出できるか？

主な発見

• 奇数次元および臨界重み未満の偶数次元において、共形不変作用素のグリーン核の対数特異点は、フェッファーマン＝グラハムのアンビエント計量の共変微分の完全な縮約から生じるウェイリ共形不変量の線形結合である。
• ヤマベ作用素およびパネイツ作用素を含むGJMS作用素について、そのグリーン核の対数特異点は、不変的にウェイリ共形不変量の線形結合として表現可能である。
• 臨界重み以上に達する偶数次元では、追加の例外的局所的共形不変量（ベイリー＝ゴーバー）およびグレアム＝ヒラチ不変量が特異点構造に現れる可能性がある。
• CR幾何において、CR不変作用素のグリーン核の対数特異点は局所的CR不変量であり、臨界重み未満では、フェッファーマンのケーラー＝ローレンツアンビエント計量からのウェイリCR不変量の線形結合である。
• CR GJMS作用素について、グリーン核の特異点は $ \gamma_{\boxdot_{\theta}^{(k)}}(x) = c_{\theta}^{(k)}(x) |d\theta^n \wedge \theta| $ と表され、ここで $ c_{\theta}^{(k)}(x) $ は重み $ n+1-k $ のスカラー的ウェイリCR不変量の線形結合である。
• 明示的公式が得られる：$ c_{\theta}^{(n)}(x) = 0 $、$ c_{\theta}^{(n-1)}(x) = \alpha_n |S|_{\theta}^2 $、および $ c_{\theta}^{(n-2)}(x) $ は、$ S_{i\bar{j}}^{\phantom{}}\!\!\!\!^{\bar{k}l} S_{k\bar{l}}^{\phantom{}}\!\!\!\!^{\bar{p}q} S_{p\bar{q}}^{\phantom{}}\!\!\!\!^{\bar{i}j} $、$ S_{i\phantom{}}^{\phantom{}}\!\!\!\!^{j\bar{k}} S^{\bar{i}\phantom{}}\!\!\!\!^{\phantom{}}_{\bar{j}p} S^{\bar{p}\phantom{}}\!\!\!\!^{\phantom{}}_{\bar{q}k} $、およびCRフェッファーマン＝グラハム不変量 $ \Phi_\theta $ を含む。