[論文レビュー] Logics of Strong Noncontingency

Jie Fan|arXiv (Cornell University)|May 15, 2015

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、命題の真偽値にかかわらず、それが必然的に真であることを主張する強非偶然演算子 □ に基づく新しいモーダル論理を導入する。この論理は非正規的であり、新規の双対性とフレーム定義可能性によって特徴づけられ、さまざまなフレームクラスにおいて完全に公理化可能であり、標準的モーダル論理と非偶然論理の間で表現的に中間的であることが示されている。

ABSTRACT

Inspired by Hintikka's treatment of question embedding verbs in [8] and the variations of noncontingency operator, we propose a logic with strong noncontingency operator $\blacktriangle$ as the only primitive modality. A proposition is strongly noncontingent, if no matter whether it is true or false, it does it necessarily; otherwise, it is weakly contingent. This logic is not a normal modal logic, since $\blacktriangle(ϕ oψ) o(\blacktriangleϕ o\blacktriangleψ)$ is invalid. We compare the relative expressivity of this logic and other logics, such as standard modal logic, noncontingency logic, and logic of essence and accident, and investigate its frame definability. Apart from these results, we also propose a suitable notion of bisimulation for the logic of strong noncontingency, based on which we characterize this logic within modal logic and within first-order logic. We also axiomatize the logic of strong noncontingency over various frame classes. Our work is also related to the treatment of agreement operator in [10].

研究の動機と目的

• ヒンティッカの質問埋め込み動詞の分析を形式化するために、強非偶然のための新しいモーダル演算子を用いる。
• 強非偶然論理を、標準的論理および非偶然論理とは異なる非正規的モーダル論理として定義し、その性質を調査する。
• この論理の表現的力を特徴づけるために、適切な双対性および双対性収縮の概念を発展させる。
• 最小および拡張されたシステムを含む、さまざまなフレームクラスにおける論理の完全な公理化を提供する。
• 新しい論理の表現的力が、非偶然論理、本質論理、およびモーダル論理とどのように比較できるかを検討する。

提案手法

• 強非偶然演算子 □φ を提案し、その解釈は：φ が真であれば φ は必然的に真であり、φ が偽であれば φ は必然的に偽である、という意味である。
• この演算子が真の値にかかわらず全般的な必然性を捉えるフレームを用いて、Kripke的意味論を定義する。
• □論理のための新しい双対性の概念を導入し、強非偶然性の下で論理式の真偽を保存する。
• この論理が標準的モーダル論理および一階論理において双対性に不変な部分論理であることを示す。
• ヒルベルトスタイルの公理化を展開し、従来のシステムよりも単純な最小系を構築する。
• フレーム定義可能性技術を用いて、特定の公理を満たすフレームクラスを特徴づけ、特にユークリッド的フレームを特徴づける □5′ を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強非偶然論理は、標準的モーダル論理および非偶然論理と比べて、表現的力においてどのように異なるか？
• RQ2 強非偶然論理の不変性を特徴づけるために、適切な双対性の概念を定義できるか？
• RQ3 さまざまなフレームクラスにおいて、強非偶然論理の公理を妥当にするフレーム条件は何か？
• RQ4 強非偶然論理は、非偶然論理や本質論理よりも表現的に強いか？
• RQ5 強非偶然論理の表現的力は、本質と偶然の論理と比べてどのように比較できるか？

主な発見

• 強非偶然論理は、標準的モーダル論理と非偶然論理の間で表現的に中間的であり、後者よりは表現的に強く、前者よりは弱い。
• 論理は正規でない。なぜなら、式 □(φ→ψ)→(□φ→□ψ) が無効であるため、標準的モーダル論理とは明確に区別される。
• この論理のための新しい双対性関係が定義され、この双対性に不変な部分論理が、まさにこの論理であることが示された。
• 論理は一階論理における双対性に不変な部分論理として特徴づけられ、双対性不変性による一階論理における定義可能性が確認された。
• 最小系を含む、さまざまなフレームクラスにおける論理の公理化が提供された。これは、先行研究におけるものよりも単純な最小系である。
• 本質と偶然の論理は、強非偶然論理以上に表現的に強いが、逆は未知である。著者は、前者がより表現的に強いと仮説を立てている。