[論文レビュー] Logistic type attraction-repulsion chemotaxis systems with a free boundary or unbounded boundary. I. Asymptotic dynamics in fixed unbounded domain

Lianzhang Bao, Wenxian Shen|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2018

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、半直線上の速やかに拡散する化学物質を伴うロジスティック型化学走性反発系の漸近的ダイナミクスを調査している。適切な条件下で、集団密度は一様に1に収束することを確立しており、非線形の化学走性および時間に依存する成長率があるにもかかわらず、長期的安定化が示されている。

ABSTRACT

The current series of research papers is to investigate the asymptotic dynamics in logistic type chemotaxis models in one space dimension with a free boundary or an unbounded boundary. Such a model with a free boundary describes the spreading of a new or invasive species subject to the influence of some chemical substances in an environment with a free boundary representing the spreading front. In this first part of the series, we investigate the dynamical behaviors of logistic type chemotaxis models on the half line $\mathbb{R}^+$, which are formally corresponding limit systems of the free boundary problems. In the second of the series, we will establish the spreading-vanishing dichotomy in chemoattraction-repulsion systems with a free boundary as well as with double free boundaries.

研究の動機と目的

• 1次元非有界領域におけるロジスティック成長を伴う化学走性反発系の長期的挙動を理解すること。
• 化学走性（誘導物への向かう力）と反発（避ける力）の影響が、集団の拡散および安定化に与える影響を分析すること。
• 集団密度が安定均衡値1に一様に収束するための条件を確立すること。
• 自由境界問題のための厳密な基礎を提供するために、半直線上の極限系を研究すること。
• Keller-Segel型モデルの既存結果を、吸引と反発の両方のメカニズムを有する系へと拡張すること。

提案手法

• 化学的誘引（$v_1$経由）と化学的反発（$v_2$経由）を伴う、集団動態をモデル化する放物型・楕円型・楕円型系を定式化。$v_1$ と $v_2$ は速やかに拡散する化学物質である。
• 自由境界問題の状況では、$x=0$ でノイマン境界条件を課し、移動境界でゼロフラックス条件を適用。半直線系は、形式的極限としての役割を果たす。
• 比較原理と上界・下界解を用いて、時間に依存する係数を有する補助常微分方程式により、集団密度 $u$ を評価する。
• 反復的推定を用いて、$v_1$ と $v_2$ がその均衡値から逸脱する度合いを制御し、問題を摂動を含むロジスティック方程式に還元する。
• 摂動の $L^\infty$ ノルムの減少に基づく再帰的議論を用いて、$\|u(t,\cdot) - 1\|_{\infty} \to 0$ が $t \to \infty$ のとき成り立つことを示す。
• 成長率の正の性質（$a_{\inf} > 0$, $b_{\inf} > 0$）と、吸引と反発のバランス（$b_{\inf} + \chi_2\mu_2 - \chi_1\mu_1 > 0$）を保証する仮定に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 化学走性反発系が半直線上に存在する場合、集団密度 $u$ が時間的に一様に1に収束する条件は何か？
• RQ2 化学的誘引（$\chi_1 > 0$）と化学的反発（$\chi_2 > 0$）の競合的効果が、集団の漸近的安定性にどのように影響を与えるか？
• RQ3 化学的シグナル（$v_1, v_2$）の速やかな拡散仮定が、系の安定化および均衡への収束を可能にする役割は何か？
• RQ4 $a$ と $b$ が有界かつゼロから離れているとき、時間に依存するロジスティック源 $a(t,x) - b(t,x)u$ が長期的ダイナミクスに与える影響は何か？
• RQ5 自由境界問題の極限的挙動は、非有界領域 $\mathbb{R}^+$ 上の対応する系を研究することで、厳密に捉えることができるか？

主な発見

• 集団密度 $u(t,x)$ は、$t \to \infty$ のとき一様に1に収束する。条件は、ネット化学走性効果が $b_{\inf} + \chi_2\mu_2 - \chi_1\mu_1 > 0$ を満たすことである。
• 収束速度は定量的に制御可能である：任意の $n \geq 1$ に対して、$\|u(t,\cdot) - 1\|_{\infty} \leq \left(\frac{K}{b_{\inf} + \chi_2\mu_2 - \chi_1\mu_1}\right)^n \cdot C_n + \varepsilon$ が成り立つ。ここで $K$ と $C_n$ は初期データおよび系のパラメータに依存する。
• 化学的濃度 $v_1$ と $v_2$ の均衡値からの逸脱は、時間とともに幾何級数的に減少する項で有界に抑えられ、非線形化学走性項の一様制御が可能になる。
• 増殖と化学走性ドリフトのバランスのおかげで、時間に依存するロジスティック成長下でも、系は漸近的に安定化する。
• 結果として、半直線系が自由境界問題の有効な形式的極限であることが確認され、拡散・消滅二分法の研究にその使用が正当化される。
• 解析により、与えられた条件下で、均衡 $u \equiv 1$ が非線形かつ非局所的な化学走性フラックスが存在する中でも、グローバルに吸引的であることが示された。