[論文レビュー] Long Cycles in 1-tough Graphs

Zh. G. Nikoghosyan|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、1-くわい性グラフにおける周囲（最長閉路長）の最良下界を確立し、すべての1-くわい性グラフがハミルトン的であるか、または $n \equiv 1 \pmod{3}$ のとき $2\delta+2$、$n \equiv 2 \pmod{3}$ または $n \equiv 1 \pmod{4}$ のとき $2\delta+3$、それ以外のとき $2\delta+4$ の閉路を含むことを証明する。この結果は、グラフの位数を 3 および 4 で割った剰余に応じて、以前の境界を強化したものであり、各ケースに対してタイトな構成例が提示されている。

ABSTRACT

In 1952, Dirac proved that every 2-connected graph with minimum degree $δ$ either is hamiltonian or contains a cycle of length at least $2δ$. In 1986, Bauer and Schmeichel enlarged the bound $2δ$ to $2δ+2$ under additional 1-tough condition - an alternative and more natural necessary condition for a graph to be hamiltonian. In fact, the bound $2δ+2$ is sharp for a graph on $n$ vertices when $n\equiv 1(mod\ 3)$. In this paper we present the final version of this result which is sharp for each $n$: every 1-tough graph either is hamiltonian or contains a cycle of length at least $2δ+2$ when $n\equiv 1(mod\ 3)$, at least $2δ+3$ when $n\equiv 2(mod\ 3)$ or $n\equiv 1(mod\ 4)$, and at least $2δ+4$ otherwise.

研究の動機と目的

• バウアーとシュマイヘル（1986年）が確立した $2\delta+2$ の境界を超えて、1-くわい性グラフの周囲に対する既知の下界を精緻化すること。
• グラフの位数 $n$ を 3 および 4 で割った剰余に応じた最適な閉路長下界を特定すること。
• すべての $n$ に対して改善された境界がタイトであることを示すために、等号を達成する極値グラフを構成することで、境界の最適性を証明すること。
• さまざまなグラフ位数における1-くわい性グラフの周囲の特徴付けを統合的かつ完全に整理すること。

提案手法

• 証明は、$G \setminus C$ における最長パス $P$ の長さ $\overline{p}$ に基づくケース解析を用いる。ここで $C$ はグラフ内の最長閉路である。
• 端点の $P$ の $C$ 上の隣接点によって誘導される $C$ 上の基本的セグメント $I_i$ が定義され、これらのセグメント間の途中パスが分析される。
• 極値グラフ構成（特に、互いに素な完全グラフの頂点を同一視し、特定の頂点間に辺を追加することで得られるグラフ）を用いて、境界のタイトさを示す。
• 補題を用いて、特に $|N_C(x)| \geq 2$、$|N_C(y)| \geq 2$、および $N_C(x) \neq N_C(y)$ のとき、近傍構造とパスの連結性に基づき閉路長の下界を導出する。
• 最長閉路が提案された境界より短いと仮定し、次数制約とパスの延長を用いて矛盾を導く背理法を用いる。
• 構造的グラフ理論とくわい性の性質を用いて、$\overline{p}$ の大きさ、パス端点の共通近傍、および $C$ へのクロス接続の有無に基づくケースに分けて証明を展開する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1-くわい性グラフの周囲に対する、頂点数 $n$ に依存する最良の下界は何か？
• RQ2 バウアーとシュマイヘル（1986年）が提示した $2\delta+2$ の境界は、$n \equiv 1 \pmod{3}$ のときのみでなく、すべての $n$ に対して最適化可能か？
• RQ3 $n \mod 3$ および $n \mod 4$ に応じて、最適な境界はどのように変化するか？
• RQ4 $n$ を 3 および 4 で割った剰余の各類に対して、等号を達成する極値グラフは存在するか？
• RQ5 任意の $n$ に対して、$2\delta+4$ を超えて境界をさらに改善できるか？

主な発見

• 本稿は、すべての1-くわい性グラフがハミルトン的であるか、$n \equiv 1 \pmod{3}$ のとき $2\delta+2$ の閉路を含むことを確立している。
• $n \equiv 2 \pmod{3}$ または $n \equiv 1 \pmod{4}$ のとき、周囲は少なくとも $2\delta+3$ であり、この境界はタイトである。
• それ以外のすべての $n$ に対して、周囲は少なくとも $2\delta+4$ であり、この境界もまたタイトである。
• $H(\delta-1,\delta-1,\delta-1)$、$H(\delta,\delta-1,\delta-1)$、$H(\delta-1,\delta-1,\delta-1,\delta-1)$、および $H(\delta,\delta,\delta-1)$ の極値グラフは、境界をさらに改善できないことを示している。
• この結果は、$n \mod 3$ および $n \mod 4$ に応じて一様かつ最適な境界を与えることで、以前の $2\delta+2$ の境界を完成・強化し、すべての $n$ に対して最適性の問題を解決している。
• 証明により、$H(\delta,\delta,\delta-1)$ の構成によって $2\delta+4$ のケースで等号が達成されることから、$2\delta+4$ を超える改善は不可能であることが確認されている。