[論文レビュー] Long-time behaviour of entropic interpolations

Gauthier Clerc, Giovanni Conforti+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2020

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 33被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、CD(0, n)曲率次元条件の下で、エントロピー補間（シュレーディンガー問題の解）の長時間挙動を調査する。エントロピー費用とエネルギーの鋭い漸近的境界を確立し、補間がlog T / T のレートで熱方程式に収束することを証明し、Fisher情報の1/Tの散逸率を導出し、短時間領域を超えて一般化された結果を提示するとともに、最小限の曲率仮定のもとで明示的なレートを提供する。

ABSTRACT

In this article we investigate entropic interpolations. These measure valued curves describe the optimal solutions of the Schr{\"o}dinger problem [Sch31], which is the problem of finding the most likely evolution of a system of independent Brownian particles conditionally to observations. It is well known that in the short time limit entropic interpolations converge to the McCann-geodesics of optimal transport. Here we focus on the long-time behaviour, proving in particular asymptotic results for the entropic cost and establishing the convergence of entropic interpolations towards the heat equation, which is the gradient flow of the entropy according to the Otto calculus interpretation. Explicit rates are also given assuming the Bakry-{\'E}mery curvature-dimension condition. In this respect, one of the main novelties of our work is that we are able to control the long time behavior of entropic interpolations assuming the CD(0, n) condition only.

研究の動機と目的

• エントロピー補間（シュレーディンガー問題の解）の長時間ダイナミクスを理解すること。
• CD(0, n)条件の下で、特に大時間極限において、エントロピー費用およびエネルギーの漸近的挙動を定量化すること。
• 時間区間T → ∞のとき、エントロピー補間がエントロピーの勾配流（すなわち、熱方程式）に収束することを確立すること。
• 最小限の曲率仮定のもとで収束および散逸の明示的レートを導出し、R^n上でのブラウン運動のケースを含む。

提案手法

• シュレーディンガー問題を確率測度の空間における勾配流として解釈するためにオットー計算の枠組みを用いる。
• バクリ-エメールのCD(0, n)条件を適用して曲率を制御し、長時間挙動を支配する関数不等式を導出する。
• 変分的およびPDE的手法を用いてシュレーディンガー・ブリッジ方程式を解析し、費用およびエネルギーの漸近展開を導出する。
• R上のガウス測度の場合のエントロピー補間の明示的表現を導出し、Wasserstein距離および収束レートの正確な計算を可能にする。
• シュレーディンガー問題と最適輸送の双対性を用いて、エントロピー費用をエントロピーおよびFisher情報に関連付ける。
• シュレーディンガー系の解に対する大時間漸近解析を適用し、特に初期測度と終了測度が同一の場合を特に扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CD(0, n)条件の下で、T → ∞ のときエントロピー費用はどのように振る舞うか？
• RQ2 T → ∞ のとき、エントロピー補間は熱方程式にどのレートで収束するか？
• RQ3 CD(0, n)条件下で、シュレーディンガー・ブリッジのエネルギーは指数的減少を示すか、それとも代数的減少に限るか？
• RQ4 エントロピー補間に沿ったFisher情報の長時間散逸率は何か？
• RQ5 具体的な例（例えば、R上でのガウス分布）は、一般の漸近的境界を確認または精緻化するか？

主な発見

• T → ∞ のとき、エントロピー費用CT(µ, ν)はC1(µ, ν) + 2n log Tまでしか増加しない。この鋭さはR^n上での確認がなされている。
• エネルギーET(µ, ν)は両側境界|ET(µ, ν)| ≤ C log T / Tを満たしており、指数的減少ではなく代数的減少であることが示唆される。
• エントロピー補間はW2(µT_t, P*t(µ)) ≤ C √(log T / T)のレートで熱方程式に収束する。これは一部の状況では最適でないが、漸近的順序の意味で鋭い。
• Fisher情報IW(µT_θT)はn/(2Tθ(1−θ))より速く減少し、熱方程式に沿った既知の1/Tレートと一致する。この境界は鋭い。
• R上での同一の初期および終了デルタ質量の場合、CT(x,x) ∼ 2 log T がT → ∞ で成り立つ。
• R上での中心化された2つのガウス分布の場合、エントロピー補間と熱方程式との間のWasserstein距離はC / T²のレートで減少し、一般のlog T / Tレートよりも速い収束を示す。