[論文レビュー] Long-time dynamics of the nonhomogeneous incompressible flow of nematic liquid crystals

Xianpeng Hu, Hao Wu|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 41被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有界な2次元領域における非同次不圧縮性ネマチック液晶流れのグローバルな強解の長時間挙動を調査する。速度場の減衰推定を確立し、外部力が漸近的に自己同型となる場合に密度場および配向場が定常状態に収束することを証明し、エネルギー推定とリャプノフ型汎関数を用いて明示的な収束速度を導出する。

ABSTRACT

We study the long-time behavior of global strong solutions to a hydrodynamic system for nonhomogeneous incompressible nematic liquid crystal flows driven by two types of external forces in a smooth bounded domain in $\mathbb{R}^2$. For arbitrary large regular initial data with the initial density being away from vacuum, we prove the decay of the velocity field for both cases. Furthermore, for the case with asymptotically autonomous external force, we can prove the convergence of the density function and the director vector as time goes to infinity. Estimates on convergence rate are also provided.

研究の動機と目的

• 2次元における非同次不圧縮性ネマチック液晶流れのグローバル強解の長時間ダイナミクスを分析すること。
• 一般の外部力のもとでの速度場の減衰を調査すること。
• 外部力が漸近的に自己同型となる場合に、密度場および配向場が定常状態に収束することを証明すること。
• エネルギー推定とリャプノフ汎関数を用いて、密度場および配向場の明示的な収束速度を導出すること。

提案手法

• 運動エネルギー、配向場の勾配エネルギー、およびポテンシャルエネルギーのずれを組み合わせたリャプノフ型汎関数 $ \mathcal{Q}(t) $ を導出する。
• ガリャルディーノ＝ニレングラートおよびレフェンシュタイン型の不等式を用いて、エネルギーおよび散逸項の一様有界性を確立する。
• エネルギー-散逸バランスにグロンウォール型不等式を適用し、減衰推定を得る。
• 楕円型正則性推定を用いて、配向場の $ \mathbf{H}^1 $ 収束を $ \mathbf{H}^2 $ 正則性に高める。
• エネルギー推定における駆動項を制御するため、時間に依存する減衰仮定を外部力 $ \mathbf{g}(t) $ に課す。
• 汎関数 $ \mathcal{Q}(t) $ と散逸項 $ A(t) $ を組み合わせた修正エネルギー汎関数 $ \mathcal{Q}_1(t) $ を用いて、指数的減衰率を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の外部力のもとで、2次元有界領域において、時間の無限大に伴って速度場がゼロに減衰するか？
• RQ2 外部力が漸近的に自己同型となる場合、密度場および配向場が定常状態に収束するか？
• RQ3 速度場、密度場、および配向場がそれぞれの極限に収束する速度は何か？
• RQ4 減衰速度は、外部力の正則性および減衰性にどのように依存するか？
• RQ5 リャプノフ汎関数とエネルギー推定を用いて、収束を定量的に記述できるか？

主な発見

• 一般の外部力のもとで、$ \|v(t)\|_{\mathbf{H}^1} \leq C(1+t)^{-\kappa} $（$ \kappa > 0 $）の形で速度場が減衰する。
• 外部力 $ \mathbf{g}(t) $ が $ \|\mathbf{g}(t)\| \leq C(1+t)^{-(1+\xi)} $（$ \xi > 0 $）と減衰する場合、密度場および配向場は定常状態に収束する。
• 配向場の $ \mathbf{H}^1 $ での収束速度は $ \|d(t) - d_\infty\|_{\mathbf{H}^1} \leq C(1+t)^{-\kappa} $（$ \kappa \in (\frac{3}{8}, \frac{1}{2}) $）である。
• 楕円型推定を用いて、配向場は $ \mathbf{H}^2 $ 正則性を達成し、$ \|d(t) - d_\infty\|_{\mathbf{H}^2} \leq C(1+t)^{-\kappa} $ の減衰速度を示す。
• 速度の $ \mathbf{W}^{2,q} $ ノルムが時間に関して可積分であり、$ \nabla v $ の適切な減衰のもとで、密度の $ W^{1,r} $ 一様有界性が得られる。
• $ \kappa > \frac{3}{2} $ の場合、$ \nabla v $ の $ \mathbf{L}^\infty $ ノルムが時間に関して可積分であり、密度の $ W^{1,r} $ 一様有界性が保証される。