[論文レビュー] Looking for continuous local martingales with the crossing tree (Working Paper)

Owen D. Jones, David A. Rolls|ArXiv.org|Nov 27, 2009

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 42被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、確率過程のレベル集合を通過する時間を符号化する木構造であるクロッシングツリーを用いて、連続的局所マルティンゲール仮説に対する新しい統計的検定を提案する。この手法は、特に短いデータセットにおいて、二乗変動に基づく手法よりも検出力が優れている。2003年の高頻度FXレート（例：AUD-USD、EUR-USD）において、15分未塔の時スケールで連続的マルティンゲール仮説が棄却され、マイクロ構造的またはジャンプ的行動を示していることが判明した。

ABSTRACT

We present statistical tests for the continuous martingale hypothesis. That is, whether an observed process is a continuous local martingale, or equivalently a continuous time-changed Brownian motion. Our technique is based on the concept of the crossing tree. Simulation experiments are used to assess the power of the tests, which is generally higher than recently proposed tests using the estimated quadratic variation (i.e., realised volatility). In particular, the crossing tree shows significantly more power with shorter datasets. We then show results from applying the methodology to high frequency currency exchange rate data. We show that in 2003, for the AUD-USD, GBP-USD, JPY-USD and EUR-USD rates, at small timescales (less than 15 minutes or so) the continuous martingale hypothesis is rejected, but not so at larger timescales. For 2003 EUR-GBP data, the hypothesis is rejected at small timescales and some moderate timescales, but not all.

研究の動機と目的

• 従来の二乗変動に基づく手法よりも、連続的局所マルティンゲール仮説の検定においてより高い検出力を有する統計的検定を開発すること。
• 高頻度外国為替レートが、異なる時スケールにおいて連続的局所マルティンゲール的挙動を示すかどうかを調査すること。
• クロッシングツリー構造を用いて、確率過程の微小スケールの拡散的挙動を特徴付けること。
• さまざまな拡散過程における、提案手法の実証的第一種誤り率および統計的検出力を評価すること。
• Fellerの平方根過程などの拡散過程における通過時間のシミュレーションに用いるための閾値レベルδを特定すること。

提案手法

• プロセスがレベルの列を通過する時間を記録することでクロッシングツリーを構築し、微小スケールの拡散的挙動を捉える。
• 通過時間の経験的分布を用いて定常性および独立性を検定し、これがブラウン運動下での期待分布と一致するかを評価する。
• カイ二乗検定、G検定、コルモゴロフ・スミルノフ検定などの複数の分布適合度検定を用いて、通過時間分布が理論的期待値とどの程度適合するかを評価する。
• 自己相関、ウォルド＝ウルフヴィッツ検定、オブライエン検定などの独立性検定を用いて、連続的局所マルティンゲールとは整合しない依存構造を検出する。
• シミュレーションと回帰外挿法を用いてδ（レベル間隔）を推定し、固定区間内での所望の通過回数を達成するようにする。これにより、通過時間の正確なサンプリングが保証される。
• ブラウン運動（ドリフト付き）、オーナイシュタイン＝ウーレン、自己相関のないブラウン運動（FBM）、Feller過程などのシミュレーテッド過程を用いて、クロッシングツリー検定と二乗変動に基づく検定の検出力を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クロッシングツリー手法は、二乗変動に基づく手法よりも、連続的局所マルティンゲール仮説からの逸脱をより効果的に検出できるか？
• RQ2 高頻度FXレートは、どの時スケールで連続的局所マルティンゲール仮説から逸脱するか？
• RQ3 特に通過時刻で定常でない場合に、さまざまな拡散過程における経験的通過時間分布はどのように振る舞うか？
• RQ4 Fellerの平方根過程のような時間変換付き拡散過程において、シミュレーションと外挿法を用いてδを信頼性高く推定できるか？
• RQ5 通過時間分布の非定常性が、それらに基づく統計的検定の妥当性にどの程度影響を及えるか？

主な発見

• クロッシングツリーに基づく検定は、微小スケールの拡散的挙動に敏感であるため、特に短いデータセットにおいて、二乗変動に基づく手法よりも顕著に高い統計的検出力を示す。
• 2003年のFXデータにおいて、AUD-USD、GBP-USD、JPY-USD、EUR-USDの各通貨ペアについて、15分未塔の時スケールで連続的マルティンゲール仮説が棄却され、高頻度ではマルティンゲール的でない挙動が示された。
• EUR-GBPのペアでは、小さなおよび一部の中程度の時スケールで仮説が棄却されたが、すべてのスケールでそうではないため、非一様なマイクロ構造的効果が示唆された。
• Fellerの平方根過程における経験的通過時間分布は、1000回の通過後でさえ非定常であった。これは、定常性に基づく仮定が無効であることを示している。
• 有限のΔにおけるシミュレーションからのδ推定値を回帰的外挿することで、Feller過程（κ=6、σ=1）において5単位時間に1250回の通過を達成するための安定な推定値δ ≈ 0.028163が得られた。
• 本手法は、平均回帰や長距離自己相関を示す過程（例：オーナイシュタイン＝ウーレン過程、分数 Browmian 過程）において、連続的局所マルティンゲール仮説からの逸脱を効果的に同定できた。