[論文レビュー] Loop Grassmannian cohomology, the principal nilpotent and Kostant theorem

Victor Ginzburg|ArXiv.org|Mar 30, 1998

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、複素単純代数群 G のループグラスマンニアンとそのラングランズ双対の表現論の間のコhomologicalな関係を確立し、D. ペターソンの予想を証明した。この予想は、G[[z]]-軌道閉包のコホモロジー代数が、主冪零要素の中心化子を用いて記述されることを述べている。さらに、等置不変コホモロジーの純粋性を用いた、コスタントの定理（単純リー代数の多項式代数に関する）の新たな位相的証明も提供している。

ABSTRACT

Given a complex projective algebraic variety, write H(X) for its cohomology with complex coefficients and IH(X) for its Intersection cohomology. We first show that, under some fairly general conditions, the canonical map H(X) o IH(X) is injective. Now let Gr = G((z))/G[[z]] be the loop Grassmannian for a complex semisimple group G, and let X be the closure of a G[[z]]-orbit in Gr. We prove, using the general result above, a conjecture of D. Peterson describing the cohomology algebra H(X) in terms of the centralizer of the principal nilpotent in the Langlands dual of Lie(G). In the last section we give a new "topological" proof of Kostant's theorem about the polynomial algebra of a semisimple Lie algebra, based on purity of the equivariant intersection cohomology groups of G[[z]]-orbits on Gr.

研究の動機と目的

• 通常コホモロジーから交差コホモロジーへの自然写像が単射となる条件を確立すること。
• G[[z]]-軌道閉包のループグラスマンニアンにおけるコホモロジー代数を記述する D. ペターソンの予想を証明すること。
• 単純リー代数の多項式代数に関するコスタントの定理の新たな位相的証明を提供すること。
• 主冪零要素を介して、ループグラスマンニアンの幾何と表現論的不変量を結びつけること。
• 等置不変交差コホモロジーの純粋性を用いて、リー理論における構造的結果を導出すること。

提案手法

• 通常コホモロジーから交差コホモロジーへの自然写像 H(X) → IH(X) の単射性に関する一般的基準を確立すること。
• 複素単純代数群 G に対して、G((z))/G[[z]] における軌道閉包 X にこの基準を適用すること。
• ラングランズ双対リー代数における主冪零要素の中心化子の構造を用いて、コホモロジー代数 H(X) を記述すること。
• G[[z]]-軌道における等置不変交差コホモロジー群の純粋性を活用して代数的帰結を得ること。
• 代数幾何、表現論、等置不変コホモロジーの技術を用いて、幾何的不変量とリー理論的データを関連させること。
• ループ群構造と Iwahori部分群 G[[z]] の作用を用いて、軌道閉包とそのコホモロジーを分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 通常コホモロジーから交差コホモロジーへの自然写像が単射となる一般的条件は何か？
• RQ2 ループグラスマンニアンにおける G[[z]]-軌道閉包のコホモロジー代数は、どのようにリー理論的データで記述できるか？
• RQ3 ラングランズ双対リー代数における主冪零要素の中心化子と、ループグラスマンニアンの軌道閉包のコホモロジーとの正確な関係は何か？
• RQ4 ループグラスマンニアンの軌道における等置不変交差コホモロジーの純粋性は、リー理論の古典的定理の新たな証明を可能にするか？
• RQ5 ループグラスマンニアンの幾何は、どの程度ラングランズ双対群の表現論的不変量を符号化しているか？

主な発見

• 通常コホモロジーから交差コホモロジーへの自然写像 H(X) → IH(X) は、ループグラスマンニアンの軌道閉包を含む広範な複素射影的多様体のクラスで単射である。
• ループグラスマンニアンにおける G[[z]]-軌道閉包 X のコホモロジー代数 H(X) は、Lie(G) のラングランズ双対における主冪零要素の中心化子の不変式代数に同型である。
• 本論文は、D. ペターソンによるループグラスマンニアンの軌道閉包のコホモロジー構造に関する予想を確認した。
• G[[z]]-軌道における等置不変交差コホモロジーの純粋性を活用することで、コスタントの定理の新たな位相的証明が得られた。
• ループグラスマンニアンにおける軌道閉包のコホモロジーが、主冪零要素中心化子の不変式の多項式代数に同型であることが示された。
• 結果として、ループグラスマンニアンの幾何と単純リー代数の表現論との間の深い関係が、ラングランズ双対を介して確立された。