[論文レビュー] Loop Groups, Higgs Fields and Generalised String Classes

Raymond F. Vozzo|ArXiv.org|Jun 26, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 35被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、基点付きループ群バンドル（ΩG-バンドル）のための高次元特徴類へ、ループ群バンドルのストリングクラスの障害を一般化する。バンドルゲーブルを用いたトランスグレッション写像の幾何的実現を導入し、ΩG-バンドルのチャーン＝ウェイラー型理論を確立するとともに、LG⋊S¹-バンドルへカルォロン対応を拡張し、中心拡張およびヒッグス場を用いて、被覆障害の明示的ド・ラーム代表元を提供する。

ABSTRACT

We consider various generalisations of the string class of a loop group bundle. The string class is the obstruction to lifting a bundle whose structure group is the loop group $LG$ to one whose structure group is the Kac-Moody central extension of the loop group. We develop a notion of higher string classes for bundles whose structure group is the group of based loops, $ΩG$. In particular, we give a formula for characteristic classes in odd dimensions for such bundles which are associated to characteristic classes for $G$-bundles in the same way that the string class is related to the first Pontrjagyn class of a certain $G$-bundle associated to the loop group bundle in question. This provides us with a theory of characteristic classes for $ΩG$-bundles analogous to Chern-Weil theory in finite dimensions. This also gives us a geometric interpretation of the well-known transgression map $H^{2k}(BG) o H^{2k-1}(G).$ We also consider the obstruction to lifting a bundle whose structure group is not the loop group but the semi-direct product of the loop group with the circle, $LG times S^1$. We review the theory of bundle gerbes and their application to central extensions and lifting problems and use these methods to obtain an explicit expression for the de Rham representative of the obstruction to lifting such a bundle. We also relate this to a generalisation of the so-called `caloron correspondence' (which relates $LG$-bundles over $M$ to $G$-bundles over $M imes S^1$) to a correspondence which relates $LG times S^1$-bundles over $M$ to $G$-bundles over $S^1$-bundles over $M$.

研究の動機と目的

• 有限次元におけるチャーン＝ウェイラー理論に類似した、ΩG-バンドルの高次特徴類の理論を構築すること。
• バンドルゲーブルおよびヒッグス場を用いて、写像 H²ᵏ(BG) → H²ᵏ⁻¹(G) のトランスグレッションを幾何的に実現すること。
• M 上の LG-バンドルから M 上の LG⋊S¹-バンドルへのカルォロン対応を拡張し、それらを M 上の S¹-バンドル上の G-バンドルに関連付けること。
• 中心拡張およびバンドルゲーブルを用いて、LG⋊S¹-バンドルの被覆問題における障害類の明示的ド・ラーム代表元を提供すること。
• ループ群と円周の半直積を含むバンドルへまで、ストリング構造の概念を LG-バンドルにとどまらず一般化すること。

提案手法

• 中心拡張をモデル化し、構造群が LG である主バンドルを分類するために、バンドルゲーブルおよび被覆バンドルゲーブルを用いる。
• ヒッグス場を用いて、LG-バンドルおよび LG⋊S¹-バンドルの分類写像を構成し、それらを特徴類に関連付ける。
• 経路ファイブレーションおよび単体的ラインバンドルを用いた分類を用いて、L∨G-バンドルの普遍ストリング類を構成する。
• コhomologyにおけるトランスグレッション写像を用いて、G-バンドルの特徴類と ΩG-バンドルの特徴類を関連付け、幾何的解釈を提供する。
• S¹ が LG に作用する仕組みと関連するねじれ付き等変換構造を用いて、LG⋊S¹-バンドルにおける障害類の明示的ド・ラーム代表元を導出する。
• LG⋊S¹-バンドルと M 上の S¹-バンドル上の G-バンドルとの間の対応関係を用いて、分類写像を上昇させ、障害形式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LG-バンドルのストリングクラス障害を、ΩG-バンドルの高次元特徴類へどのように一般化できるか？
• RQ2 バンドルゲーブルおよびヒッグス場を用いた場合、写像 H²ᵏ(BG) → H²ᵏ⁻¹(G) のトランスグレッション写像の幾何的実現とは何か？
• RQ3 カルォロン対応を LG-バンドルから LG⋊S¹-バンドルへどのように拡張できるか。対応するバンドル論的対応関係は何か？
• RQ4 LG⋊S¹-バンドルの被覆問題における障害類の明示的ド・ラーム代表元は何か？
• RQ5 ヒッグス場およびバンドル上のねじれ付き等変換構造は、ΩG-バンドルの特徴類とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿では、G-バンドルの特徴類に自然に関連する奇数次元の特徴類の理論を、ΩG-バンドルに対して構築し、第一パンツリャーギン類のトランスグレッションとしてのストリングクラスを一般化する。
• バンドルゲーブルおよびヒッグス場を用いることで、写像 H²ᵏ(BG) → H²ᵏ⁻¹(G) のトランスグレッション写像に幾何的解釈を提供し、コhomological 操作と幾何的構造を結びつける。
• S¹ が LG に作用する仕組みと関連する被覆バンドルゲーブルを用いて、LG⋊S¹-バンドルにおける被覆問題の障害類の明示的ド・ラーム代表元を導出する。
• 経路ファイブレーションおよび単体的ラインバンドルによる分類を用いて、L∨G-バンドルの普遍ストリング類を構成する。
• M 上の S¹-バンドル上の G-バンドルの同型類と LG⋊S¹-バンドルの同型類との間で、全単射対応を確立し、カルォロン対応を拡張する。
• 写像 P → P/LG が、評価写像 γ ↦ γ(1) を通じた構造群の拡張により、G に拡張されたものと同型であることを示し、幾何的被覆構成の整合性を確認する。