[論文レビュー] Yet another construction of the central extension of the loop group

Michael K. Murray, Daniel Stevenson|ArXiv.org|Jan 31, 2001

Advanced Topics in Algebra被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、Lie群Gのℂ×による中心拡大を、G上の閉で2πi-整数の2形式Rと、G×G上の1形式α（δ(R) = dα および δ(α) = 0 を満たす）を用いた微分幾何的特徴づけを提示する。この手法により、接続を備えた主ℂ×-バンドルを用いて、ループ群L(K)の中心拡大を明示的に構成し、標準的なストリング拡大がこのデータから生じることを示した。これにより、ループ群の中心拡大の新たな幾何的実現が得られた。

ABSTRACT

We give a characterisation of central extensions of a Lie group G by the non-zero complex numbers in terms of a differential two-form on G and a differential one-form on GxG. This is applied to the case of the central extension of the loop group.

研究の動機と目的

• Lie群Gのℂ×による中心拡大を、GおよびG×G上の微分形式を用いて新たな特徴づけを提供すること。
• この特徴づけを、コンformal field theoryおよび弦理論における中心的対象であるループ群L(K)に適用すること。
• 接続を備えた主ℂ×-バンドルと曲率形式Rを用いて、L(K)の中心拡大を明示的に構成すること。
• 標準的なループ群のストリング拡大が、この構成から生じることを示し、既知の結果と一致させること。

提案手法

• 同型類の中心拡大（接続付き）から、RがG上で閉で2πi-整数の2形式であり、αがG×G上で1形式でδ(R) = dα および δ(α) = 0 を満たすような対(α, R)への写像を定義する。
• 曲率Rを用いて、接続μに関して曲率がRとなるような主ℂ×-バンドルP → Gを構成する。
• π₁(G) = 0 の条件を活用し、δ(P) → G×G に全空間の切断sが存在することを保証し、s*δ(μ) = α が成り立つようにする。
• 切断sを用いて、P×P → P への乗法的写像Mを構成し、結合則が定数w ∈ ℂ×の違いを除いて成り立つことを示す。この定数wは、単位元での評価により1であることが示される。
• 定数z ∈ ℂ×による切断sの変更が、中心拡大の同型類を保つことから、同型類が不変であることを示す。
• Rとαが標準的な表現（キリング形式およびループ微分を含む）と一致することを確認することで、構成された拡大が既知のL(K)のストリング拡大と一致することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lie群Gのℂ×による中心拡大は、GおよびG×G上の微分形式を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ2 G上の2形式RとG×G上の1形式αが、中心拡大を決定するためにはどのような条件を満たす必要があるか？
• RQ3 標準的なループ群L(K)の中心拡大は、このような対(R, α)から再構成可能か？
• RQ4 この構成は、接続および切断の選択に対して、中心拡大の同型類の意味で不変か？
• RQ5 この微分幾何的構成は、ループ群バンドルのストリング類とどのように関係するか？

主な発見

• Lie群Gのℂ×による中心拡大は、RがG上で閉で2πi-整数の2形式であり、αがG×G上で1形式でδ(R) = dα および δ(α) = 0 を満たすような対(R, α)によって分類される。
• L(K)上の曲率形式Rは、R(g)(gX, gY) = (1/(4π²)) ∫_{S¹} ⟨X, ∂θY⟩ dθ で与えられ、𝔟上の正規化されたキリング形式を用いる。
• L(K)×L(K)上の1形式αは、α(g₁,g₂)(g₁X₁, g₂X₂) = (1/(4π²)) ∫_{S¹} ⟨X₁, (∂θg₂) ∂θg₂⁻¹⟩ dθ で与えられる。
• この構成により、バンドルの全空間上で結合的乗法が得られ、結合則は中央スカラーの違いを除いて成り立つ。このスカラーが1であることが示された。
• 得られた中心拡大は、既知のループ群L(K)の標準的ストリング拡大と同型であり、文献に既知の結果と一致する。
• 本手法により、微分形式と接続を用いたループ群バンドルのストリング類の幾何的実現が得られ、以前の構成を一般化した。