[論文レビュー] Loop homology algebra of a closed manifold

Yves Félix, Jean‐Claude Thomas+1 more|ArXiv.org|Mar 14, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、閉じた単連結な向き付け可能多様体 M に対して、任意の体 k 上でループホモロジー代数の明示的チェインモデルを構成し、ループ積と基点付きループ空間ホモロジーへの交差準同型を計算する。主な貢献は、交差準同型の核がネーター的イデアル（指数 ≤ d/2、あるいは特徴数 0 の場合 ≤ cat M）であることを証明することであり、その像はポントリャーギン代数の中心に含まれる。これは、ループホモロジーが大きくても、像が通常は非常に小さいことを示唆する。

ABSTRACT

The loop homology of a closed orientable manifold $M$ of dimension $d$ is the ordinary homology of the free loop space $M^{S^1}$ with degrees shifted by $d$, i.e. $\mathbb H_*(M^{S^1}) = H_{*+d}(M^{S^1})$. Chas and Sullivan have defined a loop product on $\mathbb H_*(M^{S^1})$ and an intersection morphism $I : \mathbb H_*(M^{S^1}) o H_*(ΩM)$. The algebra $\mathbb H_*(M^{S^1})$ is commutative and $I$ is a morphism of algebras. In this paper we produce a model that computes the algebra $\mathbb H_*(M^{S^1})$ and the morphism $I$. We show that the kernel of $I$ is nilpotent and that the image is contained in the center of $H_*(ΩM)$, which is in general quite small.

研究の動機と目的

• 閉じた単連結な向き付け可能多様体 M に対して、自由ループ空間のループホモロジー代数と交差準同型を計算する明示的チェインレベルモデルを構築すること。
• 特にループ積と基点付きループ空間ホモロジーへの交差準同型の間の関係を含め、ループホモロジー代数の代数的構造を理解すること。
• 交差準同型の像と核のサイズおよび構造を、多様体の位相的性質と関連付けて特定すること。
• 交差準同型の像がポントリャーギン代数の中心に含まれることを確立し、これは多様体のホモトピー型によって制約されることを示すこと。

提案手法

• 多様体の特異コホモロジー代数のホッホシュタイナー・コホモロジーと同一視することで、コーエン＝ジョンズ同型を用いてループホモロジーを特定する。
• ホッホシュタイナー・コホモロジーにおけるゲルステンハーバー積を用いてループ積のチェインモデルを構築し、スuspension同型を用いて次数をずらす。
• 交差準同型 I: ℋ*(LM; k) → H*(ΩM; k) をホッホシュタイナー・コホモロジーを用いて記述し、増幅写像と係数付きホッホシュタイナー・コホモロジーの図式を用いる。
• 特徴数 0 の場合に、一般線型代数の普遍包あくり代数の中心に関する代数的結果を用いて、I の像を分析する。
• 多様体のポincare双対性構造を用いて、チェインモデルと基本類を関連づけ、ホッホシュタイナー・コホモロジーにおける双対性同型を確立する。
• 半自由なバイモジュールにおけるリフトとホモトピー拡張性質を用いて、ホモロジー類のチェインレベル代表元を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じた単連結な向き付け可能多様体 M と体 k に対して、ループホモロジー代数 ℋ*(LM; k) の代数的構造は何か？
• RQ2 交差準同型 I: ℋ*(LM; k) → H*(ΩM; k) は、ポントリャーギン代数 H*(ΩM; k) の代数的構造とどのように関係するか？
• RQ3 I の像は H*(ΩM; k) の中心に含まれるか？また、その大きさはどの程度か？
• RQ4 I の核のネーター指数は何か？また、Lusternik-Schnirelmann のカテゴリー や次元といった多様体の位相的不変量にどのように依存するか？
• RQ5 交差準同型 I が全射となる条件は何か？

主な発見

• 交差準同型 I: ℋ*(LM; k) → H*(ΩM; k) の核は、ネーター的イデアルであり、そのネーター指数は d/2 以下である。ここで d は多様体 M の次元を表す。
• I の像はポントリャーギン代数 H*(ΩM; k) の中心に含まれる。これは、ループホモロジー代数が I の像よりもはるかに大きいことを示唆する。
• 体 k が特徴数 0 の場合、ker I のネーター指数は M の Lusterik-Schnirelmann カテゴリに上界をもつ。
• 特徴数 0 の場合、I の像と有理化ホモトピー群 π*(ΩM)⊗k の交わりは、正確に有理化ゴットリーブ群 G*(M)⊗k に一致する。
• I の像の成長は多項式的である：ある C > 0 と k ≤ cat M に対して、∑_{i=0}^n dim(Im I ∩ H_i(ΩM; k)) ≤ Cn^k が成り立つ。
• 交差準同型 I が全射であるための必要十分条件は、M が奇数次元の球面の積の有理ホモトピー型を持つことである。