[論文レビュー] Loop quantum gravity and black hole singularity

Leonardo Modesto|ArXiv.org|Jan 25, 2007

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 15被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、カントウフス・サックスのミニサブスパイスモデルにおけるブラックホール特異点問題を、ループ量子重力（LQG）を用いて解決する。LQGに由来する技術を用いてハミルトニアン制約を量子化することで、特異点で正則な差分方程式が得られ、$μ_E = 0$ を超えて量子的進化が可能となり、三重項の向きが反転した新たな時空領域が示唆される。これにより情報の損失が回避される。

ABSTRACT

In this paper we summarize "loop quantum gravity" (LQG) and we show how ideas developed in LQG can solve the black hole singularity problem when applied to a minisuperspace model.

研究の動機と目的

• ループ量子重力（LQG）をブラックホール内部に適用し、特にカントウフス・サックスのミニサブスパイスモデルにおいて適用すること。
• LQGの技術を用いてハミルトニアン制約を量子化することで、古典的特異点問題を解決すること。
• 量子重力の効果がブラックホール特異点を越えて非特異的進化を可能にするかどうかを調査すること。
• 特異点を越えて新たな時空領域が出現する場合の情報損失とその影響を検討すること。
• 差分方程式形式を用いて、物理的状態が古典的特異点で良好に定義され、正則なままであることを示すこと。

提案手法

• 一般相対性理論のアシュテカール変数形式を採用し、基本変数として$SU(2)$接続$A_a^i$と密度化された三重項$E^a_i$を用いる。
• アシュテカール形式におけるハミルトニアン、微分同相変換、ガウス制約を構築し、ハミルトニアン制約が時間発展を生成することを確認する。
• 完全なLQGから導かれる量子化手順を縮小されたミニサブスパイスモデルに適用し、量子幾何の離散的表現が得られることを示す。
• ハミルトニアン制約から波動関数$\psi_{\mu_E, \mu_{E^1}}$の差分方程式を導出し、$\mu_E = 0$ においても有限のままである係数$\alpha$および$\beta$を含む。
• 差分方程式を用いて、物理的状態を離散的成分$\psi_{\mu_E + n\mu_0, \mu_{E^1} + m\mu_0}$の重ね合わせとして定義する。ここで$\mu_0 \sim 1$はプランクスケールに相当する。
• 物理的状態の進化を$\mu_E$を内部時間の観測可能量、$\mu_{E^1}$を空間の非一様性の観測可能量として解釈し、特異点を越えて正則な量子的進化を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ループ量子重力（LQG）は、カントウフス・サックス時空のミニサブスパイスモデルにおいてブラックホール特異点を解決できるか？
• RQ2 古典的特異点に近づく際、ブラックホール内部の量子的進化はユニタリで非特異的のままであるか？
• RQ3 古典的特異点を越えて、物理的状態波動関数の構造はどのようになるか？
• RQ4 量子幾何の効果は、特異点付近の逆体積および曲率不変量の古典的振る舞いをどのように変更するか？
• RQ5 ブラックホール特異点が量子のバウンスに置き換わる可能性はあり、これにより三重項の向きが反転した新たな時空領域が生じるか？

主な発見

• 曲率不変量および逆体積作用素の固有値は、ブラックホール内部全域で有限のスペクトルを持つため、古典的特異点が運動論的レベルで解決されている。
• ハミルトニアン制約から得られる波動関数$\psi_{\mu_E, \mu_{E^1}}$の差分方程式は、古典的特異点である$\mu_E = 0$ においても正則のままである。
• 状態$\psi_{0,0}$は力学から分離され、古典的特異点を越えて量子的進化が可能になる。
• 量子的進化は特異点で停止せず、三重項の向きが反転した新たな領域に継続する。
• 物理的状態は離散的重ね合わせ$\psi_{\mu_E + n\mu_0, \mu_{E^1} + m\mu_0}$（$n, m \in \mathbb{Z}$）として表現され、離散的量子幾何を示している。
• 特異点を越えて新たな時空領域が出現するという事実は、純粋な量子状態がブラックホールに落下した後、新たな宇宙で純粋状態として再現されることを示唆し、情報損失パラドックスが解決されることを示している。