[論文レビュー] Loop Quantum Gravity in Ashtekar and Lagrange-Finsler Variables and Fedosov Quantization of General Relativity

Sergiu I. Vacaru|ArXiv.org|Jan 31, 2008

Advanced Differential Geometry Research参考文献 43被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、非線形（非可積分）な2+2および3+1時空ファイブレーションに適応したAshtekar–Barbero変数を導入することにより、ループ量子重力（LQG）とFedosov変形量子化を統一するフレームワークを提案する。一般相対性理論をラグランジュ–フィンスラー変数とほぼシンプレクティック幾何学を用いて定式化し、N-適応Ashtekar d-接続を介してFedosov型のスター積を構成し、バックグラウンド独立で幾何学的に整合性のある方法で量子共変性を持つアインシュタイン方程式を導出する。

ABSTRACT

We propose an unified approach to loop quantum gravity and Fedosov quantization of gravity following the geometry of double spacetime fibrations and their quantum deformations. There are considered pseudo-Riemannian manifolds enabled with 1) a nonholonomic 2+2 distribution defining a nonlinear connection (N-connection) structure and 2) an Arnowitt-Deser-Misner 3+1 decomposition. The Ashtekar-Barbero variables are generalized and adapted to the N-connection structure which allows us to write the general relativity theory equivalently in terms of Lagrange-Finsler variables and related canonical almost symplectic forms and connections. The Fedosov results are re-defined for gravitational gauge like connections and there are analyzed the conditions when the star product for deformation quantization is computed in terms of geometric objects in loop quantum gravity. We speculate on equivalence of quantum gravity theories with 3+1 and 2+2 splitting and quantum analogs of the Einstein equations.

研究の動機と目的

• ループ量子重力（LQG）とFedosov変形量子化を、一つの幾何的枠組み内で統一すること。
• ラグランジュ–フィンスラー変数と非線形（非可積分）な2+2および3+1ファイブレーションを用いて一般相対性理論を再定式化すること。
• Ashtekar–Barbero d-接続に基づくFedosovスター積を用いて、バックグラウンド独立で幾何学的に整合性のある重力の量子化を構築すること。
• ほぼシンプレクティック構造およびラグランジュ–フィンスラー構造の文脈において、アインシュタイン方程式の量子アナログを導出すること。
• 変形量子化におけるFedosovスター積が、ループ量子重力における幾何的対象に還元される条件を分析すること。

提案手法

• 擬リーマン多様体上に非可換2+2分割と非線形接続（N-接続）構造を導入する。
• N-接続フレームワークに適応したAshtekar–Barbero変数を用い、一般相対性理論の正準的ほぼシンプレクティック形式を可能にする。
• N-適応Ashtekar–Barbero d-接続を構築し、重力的ゲージ接続に類似したFedosov d-作用素を定義する。
• 平坦なFedosov–Ashtekar d-接続を定義することで、重力へのFedosovの変形量子化手順を適用し、誘導されたスター積を導出する。
• Fedosov d-接続の0次コホモロジーを用いて量子状態を同定し、量子共変性を持つアインシュタイン方程式を導出する。
• 歪みd-テンソルとN-適応係数を導入し、標準的リーマン接続とAshtekar–ラグランジュ形式を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ループ量子重力が、幾何的枠組みを通じてFedosov変形量子化と一貫して統合可能か？
• RQ2 Ashtekar–Barbero変数は、非可換（非可積分）な2+2および3+1ファイブレーションにどのように一般化可能か？
• RQ3 変形量子化におけるFedosovスター積が、ループ量子重力における幾何的対象に還元される条件は何か？
• RQ4 非線形接続とラグランジュ–フィンスラー構造は、バックグラウンド独立な量子重力の定式化において果たす役割は何か？
• RQ5 N-適応形式におけるFedosov–Ashtekar d-接続から、どのようにしてアインシュタイン方程式の量子アナログを導出できるか？

主な発見

• 本稿は、N-適応Ashtekar–Barbero d-接続を用いたFedosov型スター積を構築し、幾何学的に整合性のある方法で一般相対性理論の変形量子化を可能にする。
• Fedosov–Ashtekar d-接続の0次コホモロジーから得られる量子状態は、Ashtekar–ラグランジュ形式において量子共変性を持つアインシュタイン方程式を満たす。
• 歪みd-テンソル $ \tensor[_{\text{--}}]{Z}{\text{--}}_{\beta\tau}^{\nu} $ は、曲率と非線形接続係数を用いて明示的に計算され、標準的接続とAshtekar接続を結びつける。
• スター積はFedosov–Ashtekar d-接続によって誘導され、N-適応係数 $ \tensor[_{\text{--}}]{L}{\text{--}}_{jk}^{i}, \tensor[_{\text{--}}]{C}{\text{--}}_{bc}^{a} $ および曲率形式に依存する。
• 形式はバックグラウンド独立性を保持しており、変形構造に応じて局所ローレンツ対称性が破れるか保たれる可能性のある量子補正を許容する。
• 偶数次元時空では、正規d-接続 $ \tensor[\widehat{}]{\mathbf{\Gamma}}{\text{--}}_{\beta\gamma}^{\alpha} $ が $ \widehat{L}_{jk}^{i} $ と $ \widehat{C}_{bc}^{a} $ を用いて定義され、一貫性のある量子定式化を可能にする。