[論文レビュー] Lorentz invariant supersymmetric mechanism for non(anti)commutative deformations of space-time geometry

A. A. Zheltukhin|ArXiv.org|Jun 15, 2005

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、1つ以上のメジャーナススピンルを用いてN=1 D=4スーパースペースを拡張することにより、ローレンツ不変かつ超対称的な時空幾何の非(反)可換変形を提案する。この手法はスピンル拡張を用いて共変なポアソン括弧およびモーヤル括弧を生成し、グレースマンベクトル $\psi_m = -\frac{1}{2}(\bar{\theta}\gamma_m\lambda)$ が時空の非可換性の共変な測度として機能することを明らかにする。このベクトルは、超重力における定常背景場と直接的な対応関係を持つ。

ABSTRACT

A supersymmetric Lorentz invariant mechanism for superspace deformations is proposed. It is based on an extension of superspace by one $λ_{a}$ or several Majorana spinors associated with the Penrose twistor picture. Some examples of Lorentz invariant supersymmetric Poisson and Mojal brackets are constructed and the correspondence: $θ_{mn}\leftrightarrow iψ_{m}ψ_{n},\quad C_{ab}\leftrightarrow λ_{a}λ_{b},\quad Ψ^{a}_{m}\leftrightarrow ψ_{m}λ^{a}$ mapping the brackets depending on the constant background into the Lorentz covariant supersymmetric brackets is established. The correspondence reveals the role of the composite anticommuting vector $ψ_{m}=-{1\over 2}(\barθγ_{m}λ)$ as a covariant measure of space-time coordinate noncommutativity.

研究の動機と目的

• 定常背景場によって引き起こされる非(反)可換時空変形におけるローレンツ対称性の破れ問題を解消すること。
• 明示的な背景場を用いずに、変形された(超)座標のローレンツ不変かつ超対称なポアソン括弧およびモーヤル括弧を構成すること。
• 合成グレースマンベクトル $\psi_m = -\frac{1}{2}(\bar{\theta}\gamma_m\lambda)$ が時空非可換性の共変な測度として果たす役割を特定すること。
• スピンルに基づく括弧と $B_{mn}$, $C_{ab}$, $\Psi^a_m$ を含む既知の場依存括弧との間の対応関係を確立すること。
• ローレンツ不変な超対称微分を用いて、高次元および拡張超対称性へのフレームワークの一般化を行うこと。

提案手法

• $N=1$ D=4スーパースペース $(x_m, \theta_a)$ に、1つ以上の可換なメジャーナススピンル座標 $\lambda_a$ を追加する。
• 拡張されたスーパースペースを用いて、非(反)可換性が $\psi_m = -\frac{1}{2}(\bar{\theta}\gamma_m\lambda)$ に符号化されたローレンツ不変かつ超対称なポアソン括弧を構築する。
• 変形量子化を用いてポアソン括弧からモーヤル括弧を導出し、超対称性およびローレンツ共変性を保持する。
• 写像 $\theta_{mn} \leftrightarrow i\psi_m\psi_n$, $C_{ab} \leftrightarrow \lambda_a\lambda_b$, $\Psi^a_m \leftrightarrow \psi_m\lambda^a$ を導入し、スピンルに基づく括弧と定常背景場に基づく括弧との間の対応関係を確立する。
• ペンローズのツイスター形式を用いて、括弧構造におけるローレンツ共変性および超対称性を保証する。
• 括弧のジャコビ恒等式を導出し、パラメータ（例えば実定数 $c$）に課される制約を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定常背景場に依存せずに、非(反)可換時空変形をローレンツ不変かつ超対称的に行えるか。
• RQ2 合成グレースマンベクトル $\psi_m = -\frac{1}{2}(\bar{\theta}\gamma_m\lambda)$ が時空非可換性を測る役割を果たすのはどのようなものか。
• RQ3 時空座標 $x_m$、スピンル座標 $\theta_a$、$\theta_b$ の非(反)可換括弧を、ローレンツおよび超対称性不変性を保つようにどのように構成できるか。
• RQ4 スピンルに基づく括弧と $B_{mn}$, $C_{ab}$, $\Psi^a_m$ などの定常背景場に依存する括弧との間には、体系的な対応関係が存在するか。
• RQ5 このフレームワークを、複数のスピンル拡張を用いて高次元時空および $N>1$ の超対称性へ一般化できるか。

主な発見

• 提案されたポアソン括弧およびモーヤル括弧は、明示的にローレンツ不変かつ超対称的であり、それらが時空および超座標の非(反)可換関係を生成しても成立する。
• 時空座標 $x_m$ と $x_n$ の非可換性は $\{x_m, x_n\} = -i(\psi_m\psi_n)$ によって支配され、ここで $\psi_m = -\frac{1}{2}(\bar{\theta}\gamma_m\lambda)$ は共変なグレースマンベクトルである。
• $\theta_a$ と $\theta_b$ の反可換性 $\{\theta_a, \theta_b\}$ は $\lambda_a\lambda_b$ に比例しており、これによりスピンル座標の非反可換性が追加のメジャーナススピンル $\lambda_a$ に起因することが示される。
• 明確な対応関係が確立された：$\theta_{mn} \leftrightarrow i\psi_m\psi_n$, $C_{ab} \leftrightarrow \lambda_a\lambda_b$, $\Psi^a_m \leftrightarrow \psi_m\lambda^a$ であり、場依存括弧を新しい共変括弧に写像する。
• 複数のスピンルおよび高次元への一般化が可能であり、一般化された超対称微分を用いることで、括弧はローレンツ不変性および超対称性を保持する。
• ジャコビ恒等式により、括弧 $\{x_m, \lambda_a\} = c(\varphi_m)\lambda_a$ の実定数 $c$ に制約が課され、変形された代数の整合性条件が特定される。