[論文レビュー] Low-degree testing for quantum states

Anand Natarajan, Thomas Vidick|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2018

Quantum Information and Cryptography被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、多項式対数の通信量を用いて、$n$-クイッドのエンタングルメントを強固に認証できる1ラウンド2プレイヤーの量子ゲーム $G_n$ を導入する。これは、ラース＝サフラの低次数テストの量子版を用いたものであり、先行研究と比較してエンタングルメント認証のサイズにおいて指数的改善を達成する。戦略が完全に近いかぎり、唯一の近似等長写像による理想のエンタングル状態に近い場合にのみ、ほぼ完璧な勝利確率が達成される。これにより、QMA-hardnessおよび量子PCPの新たな結果が得られる。

ABSTRACT

For any integer $n\geq 2$ we construct a one-round two-player game $G_n$, with communication that scales poly-logarithmically with $n$, having the following properties. First, there exists an entangled strategy that wins with probability $1$ in $G_n$ and in which the players' outcomes are determined by performing generalized Pauli measurements on their respective share of an $n$-qudit maximally entangled state, with qudits of local dimension $q = \mathrm{poly}\log(n)$. Second, any strategy that succeeds with probability at least $1-\varepsilon$ in $G_n$ must be within distance $O((\log n)^c\varepsilon^{1/d})$, for universal constants $c,d\geq 1$, of the perfect strategy, up to local isometries. This is an exponential improvement on the size of any previously known game certifying $\Omega(n)$ qudits of entanglement with comparable robustness guarantees. The construction of the game $G_n$ is based on the classical test for low-degree polynomials of Raz and Safra, which we extend to the quantum regime. Combining this game with a variant of the sum-check protocol, we obtain the following consequences. First, we show that is QMA-hard, under randomized reductions, to approximate up to a constant factor the maximum acceptance probability of a multiround, multiplayer entangled game with $\mathrm{poly}\log(n)$ bits of classical communication. Second, we give a quasipolynomial reduction from the multiplayer games quantum PCP conjecture to the constraint satisfaction quantum PCP conjecture. Third, we design a multiplayer protocol with polylogarithmic communication and constant completeness-soundness gap for deciding the minimal energy of a class of frustration-free nonlocal Hamiltonians up to inverse polynomial accuracy.

研究の動機と目的

• 最小限の通信量で大規模なエンタングルメントを強固に認証する量子ゲームを構築すること。
• ラースとサフラの古典的低次数テストを量子領域に拡張し、エンタングルメント認証に応用すること。
• 量子ゲームの受容確率を近似する際の複雑性理論的結果を確立すること。
• クアサイポリノミアル還元を用いて、マルチプレイヤーゲームの量子PCP予想と制約充足の量子PCP予想を結びつけること。
• フラストレーションフリーな非局所ハミルトニアンの基底状態エネルギーを逆多項式の精度で低通信量プロトコルで近似すること。

提案手法

• 次元 $q = \mathrm{poly}\log(n)$ の $n$-クイッドの最大エンタングル状態に対して一般化されたパウリ測定を用いて、1ラウンド2プレイヤーのゲーム $G_n$ を構築する。
• 古典的ラース＝サフラ低次数テストを量子設定に拡張し、有限体上の低次数多項式を検証する量子テストを構築する。
• ゲーム $G_n$ を強固なエンタングルメントの証人として用い、任意の戦略が確率 $1 - \varepsilon$ で勝利するならば、局所的等長写像を除いて、完全な戦略から $O((\log n)^c \varepsilon^{1/d})$ の距離内に存在しなければならないことを保証する。
• ゲームを、量子証明の検証およびエネルギー推定を可能にする、サム・チェックプロトコルの変種と組み合わせる。
• このフレームワークを用いて、$\mathrm{poly}\log(n)$ の古典的通信量を持つ場合でも、ランダム化還元のもとで、マルチプレイヤーエンタングルゲームの最大受容確率を定数要因で近似することはQMA-hardであることを証明する。
• マルチプレイヤーゲームの量子PCP予想から制約充足の量子PCP予想へのクアサイポリノミアル還元を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式対数の通信量を持つ量子ゲームは、強力な音響保証のもとで、$\Omega(n)$ 個のクイッドのエンタングルメントを強固に認証できるか？
• RQ2 ラースとサフラの古典的低次数テストを、エンタングルメント認証に応用可能な量子領域にどのように拡張できるか？
• RQ3 このような強固な量子テストが、量子証明系に与える複雑性理論的影響は何か？
• RQ4 このようなゲームを用いて、逆多項式の精度で、フラストレーションフリーな非局所ハミルトニアンの基底状態エネルギーを低通信量で近似できるか？
• RQ5 クアサイポリノミアル還元のもとで、マルチプレイヤーゲームの量子PCP予想と制約充足の量子PCP予想の間にはどのような関係があるか？

主な発見

• ゲーム $G_n$ は、普遍定数 $c,d \geq 1$ を用いて、音響保証として $O((\log n)^c \varepsilon^{1/d})$ を達成し、任意の $1 - \varepsilon$ 勝利戦略が局所的等長写像を除いて完全な戦略に近いことを保証する。
• 類似の強度を持つ先行ゲームと比較して、エンタングルメント認証のサイズにおいて指数的改善が達成される。
• $\mathrm{poly}\log(n)$ の古典的通信量を持つ場合でも、ランダム化還元のもとで、ゲームの最大受容確率を定数要因で近似することはQMA-hardである。
• マルチプレイヤーゲームの量子PCP予想から制約充足の量子PCP予想へのクアサイポリノミアル還元が確立された。
• 多項式対数の通信量と定数の完全性-音響ギャップを持つマルチプレイヤープロトコルを設計し、フラストレーションフリーな非局所ハミルトニアンの最小エネルギーを逆多項式の精度で推定できる。