[論文レビュー] Lower Bounds for XOR of Forrelations

Uma Girish, Ran Raz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2020

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、フーリエ解析を用いて、k 個の独立した Forrelation 関数の排他的論理和（XOR）に対するタイトな下界を確立する。任意の古典的プロトコルまたは回路がレベル 2k で有界なフーリエ質量を持つ場合、XOR を 1/√N よりも優れた優位性で計算することはできない。この結果により、通信複雑性とクエリ複雑性における、指数的に小さい優位性を持つ新しい量子-古典的分離が可能となり、従来の 1/√N の相関閾値に縛られていた限界を打ち破る。

ABSTRACT

The Forrelation problem, introduced by Aaronson [A10] and Aaronson and Ambainis [AA15], is a well studied problem in the context of separating quantum and classical models. Variants of this problem were used to give exponential separations between quantum and classical query complexity [A10, AA15]; quantum query complexity and bounded-depth circuits [RT19]; and quantum and classical communication complexity [GRT19]. In all these separations, the lower bound for the classical model only holds when the advantage of the protocol (over a random guess) is more than $\approx 1/\sqrt{N}$, that is, the success probability is larger than $\approx 1/2 + 1/\sqrt{N}$. To achieve separations when the classical protocol has smaller advantage, we study in this work the XOR of $k$ independent copies of the Forrelation function (where $k\ll N$). We prove a very general result that shows that any family of Boolean functions that is closed under restrictions, whose Fourier mass at level $2k$ is bounded by $α^k$, cannot compute the XOR of $k$ independent copies of the Forrelation function with advantage better than $O\left(\frac{α^k}{N^{k/2}} ight)$. This is a strengthening of a result of [CHLT19], that gave a similar result for $k=1$, using the technique of [RT19]. As an application of our result, we give the first example of a partial Boolean function that can be computed by a simultaneous-message quantum protocol of cost $\mbox{polylog}(N)$ (when players share $\mbox{polylog}(N)$ EPR pairs), however, any classical interactive randomized protocol of cost at most $ ilde{o}(N^{1/4})$, has quasipolynomially small advantage over a random guess. We also give the first example of a partial Boolean function that has a quantum query algorithm of cost $\mbox{polylog}(N)$, and such that, any constant-depth circuit of quasipolynomial size has quasipolynomially small advantage over a random guess.

研究の動機と目的

• Forrelation 関連問題における古典的プロトコルの 1/√N 優位性の障壁を打ち破ること。
• k 個の独立した Forrelation 関数の XOR を計算する際の成功確率の下界を一般化する枠組みを構築すること。
• 制限に関して閉じたブール関数族に対して、フーリエ係数のレベル 2 からレベル 2k への下界の一般化を達成すること。
• 古典的モデルがランダム推測よりも準多項式的に小さな優位性しか持たない通信複雑性およびクエリ複雑性における分離を達成すること。
• 量子プロトコルが多対数コストで動作するが、通信量が ˜o(N^{1/4}) の古典的プロトコルに分離できる、最初の例を提供すること。

提案手法

• ブール関数におけるレベル-2k フーリエ係数の寄与を制限するためにフーリエ解析を用いる。
• 各 Forrelation コピーごとに独立したランダムウォークの積を用いて、XOR 関数の分布をモデル化する。
• 一般化された下界を確立：レベル-2k フーリエ質量 ≤ αk である制限に関して閉じた関数族では、XOR を 1/√N よりも優れた優位性で計算できない。
• RT19 および CHLT19 の技術を応用し、それらをより高いレベルのフーリエ係数へ拡張する。
• 通信複雑性の証明における小長方形制約を扱うために、拡張プロトコル（extl(C)）を導入する。
• AC0 回路および通信プロトコルに主定理を適用する際、[Tal19] および [GRT19] の結果を用いてレベル-2k フーリエ質量を制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的優位性が 1/√N よりも小さい場合、k 個の Forrelation 関数の XOR に対して下界を証明できるか？
• RQ2 関数族が k 個の Forrelation 関数の XOR を非無視的優位性で計算できるために必要な最小のレベル-2k フーリエ質量は何か？
• RQ3 古典的プロトコルの優位性が多項式的ではなく、準多項式的に小さい分離を達成できるか？
• RQ4 レベル 2 の係数に用いられるフーリエベースの技法が、レベル 2k へと拡張可能か？
• RQ5 多対数量子コストと準多項式古典コストを持つ明示的な部分ブール関数の例を構築できるか？

主な発見

• レベル-2k フーリエ質量が αk に有界である限り、任意の古典的プロトコルまたは回路は、XOR を 1/√N よりも優れた優位性で計算できない。
• 通信複雑性において、o(N^{1/4}) コストのランダム化プロトコルは、k 個の Forrelations の XOR に対して、exp(−Ω(k)) 未満の優位性しか持たない。
• 有界深さ回路において、サイズ o(exp(N^{1/(4(d−1))})) の任意の AC0 回路は、k 個の Forrelations の XOR を計算する際、exp(−Ω(k)) 未満の優位性しか持たない。
• 本結果により、古典的優位性が準多項式的に小さい通信複雑性における、最初の量子-古典的分離が達成された。
• クエリ複雑性において、多対数(N) クエリで計算可能な部分ブール関数が存在するが、それらは任意の定数深さの準多項式サイズ回路によって、準多項式的に小さな優位性よりは優れた性能で計算できない。
• 主定理は、k=1 の既存の結果を一般化し、複数の計算モデルにおいてより強い分離を可能にする。