[論文レビュー] Low dimensional interacting bosons

Serena Cenatiempo|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2012

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 64被引用数 4

ひとこと要約

本学位論文は、低次元の相互作用をもつボーズガスの研究に、きめ細やかなレノルミズェーション群アプローチを適用し、ボーズ＝アインシュタイン凝縮の出現および相関関数の振る舞いに注目する。マルチスケール統合とウォード恒等式を組み合わせることで、凝縮相の安定性を確立し、臨界指数を計算し、2次元および3次元系におけるボゴリューボフ近似の数学的に整合性のある基礎を提供する。

ABSTRACT

The theory of ultracold, dilute Bose gases is the subject of intensive studies, driven by new experimental applications, which also motivate the study of Bose-Einstein condensation (BEC) in low dimensions. From the theoretical point of view there are few, quite special, models in which we are able to prove BEC for interacting bosons. With the aim of studying the condensation problem I considered a simplified model for a three and two dimensional system of bosons interacting with a repulsive short range potential, obtained by introducing an ultraviolet momentum cutoff. I proved that the interacting theory is well defined at all orders in terms of one (in three dimensions) or two (in two dimensions) effective parameters, related to the intensity of the interaction. Moreover the correlations do not exhibit anomalous dimensions, i.e. the model is in the same universality class of the exactly soluble Bogoliubov model. The result is obtained by using Rigorous Renormalization Group techniques and implementing local Ward identities (WI), which reduce the number of independent running couplings, this fact being crucial for the control of the two dimensional theory, where the effective interactions are relevant. Since the ultraviolet momentum cutoff breaks local gauge invariance, the corrections to the formal WI have been considered.

研究の動機と目的

• 平均場近似を超えた低次元の相互作用をもつボーズガスの熱力学的および相関関数的性質を厳密に分析すること。
• 構成的場理論技法を用いて、2次元および3次元におけるボゴリューボフ近似の有効性を確立すること。
• 対称性およびウォード恒等式が、すべてのスケールにおいて有効理論の構造をどのように保っているかを調査すること。
• 走る結合定数の流れを導出し、低次元における臨界点近くでのその振るまいを特定すること。
• 希薄で弱い相互作用をもつ系におけるボーズ＝アインシュタイン凝縮を理解する数学的に整合性のある枠組みを提供すること。

提案手法

• 場理論の経路積分を逐次的な動径スライスの寄与に分解するマルチスケール統合スキームを採用する。
• 発散を制御し、対称性構造を維持するための局所化および再正規化手順を実装する。
• グローバルおよびローカルなウォード恒等式を用いて、結合定数の流れを制約し、元の対称性と整合性を保つ。
• 逐次的統合を通じて各スケールでの有効作用を導出し、伝播関数および相互作用項の精密な評価を実施する。
• パワー・カウンティング推定および次元的バインディングを用いて、摂動展開の収束性を制御する。
• 外部源を組み込み、生成関数を計算することで、相関関数を体系的に抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元および3次元の相互作用をもつボーズガスにおいて、結合定数のレノルミズェーション群の流れはどのように振る舞うか？
• RQ2 相互作用を考慮した場合、低次元においてボゴリューボフ近似はどの程度有効に保たれるか？
• RQ3 ウォード恒等式は、有効理論の構造をどのように制約し、U(1)対称性と整合性を保っているか？
• RQ4 低エネルギー行動における赤方偏移（インフラレッド発散）の役割は何か？ そして、どのように制御されるか？
• RQ5 相互作用が存在する中で、このマルチスケールアプローチを用いて、基底状態エネルギーおよび相関関数を厳密に計算できるか？

主な発見

• 1ループ計算による走る結合定数の評価は、2次元および3次元で期待されるスケーリング行動を確認し、凝縮相の安定性を支持する。
• 結合定数の流れがレノルミズェーション群手順によって適切に制御されており、物理的領域ではランダウ極が存在しないことが示された。
• 各スケールでウォード恒等式が保存されており、理論のU(1)対称性がマルチスケール統合の全過程で尊重されている。
• 最低スケールでの有効作用は、基底状態エネルギーおよび励起スペクトルについてボゴリューボフの予測を再現する。
• 次元的バインディングおよび収束推定により、低エネルギー極限における摂動展開の有効性が確認された。
• 本分析により、特に臨界点近くにおいて、2次元および3次元の相互作用をもつボーズガスにおいてボゴリューボフ近似を用いる正当性が厳密に裏付けられた。