[論文レビュー] Low distortion embeddings into Asplund Banach spaces

A. Procházka, Luis Sánchez-González|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2013

Advanced Banach Space Theory参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、歪みが2未塔のいかなるAsplundバナッハ空間にも埋め込めない可算距離空間 $M$ を構成する。この埋め込みが成立するためには、その被写空間に $\ell_1$ の同型コピーが含まれることを証明し、$M$ が $\ell_1$ に歪みが2未塔でないが、$\ell_1$ と同型な空間に等距埋め込み可能であることを示す。これにより、Asplund空間における歪みの鋭い閾値が確立される。

ABSTRACT

We give a simple example of a countable metric space $M$ that does not embed bi-Lipschitz with distortion strictly less than 2 into any Asplund space. Actually, if $M$ embeds with distortion strictly less than 2 to a Banach space $X$, then $X$ contains an isomorphic copy of $\ell_1$. We also show that the space $M$ does not embed with distortion strictly less than $2$ into $\ell_1$ itself but it does embed isometrically into a space that is isomorphic to $\ell_1$.

研究の動機と目的

• Asplundバナッハ空間がすべての可分距離空間を歪み $D$ で双リプシッツ埋め込む最小の $D$ を特定すること。
• 歪み $D<2$ ですべての可分距離空間を埋め込むバナッハ空間が、必ず $\ell_1$ のコピーを含むかどうかを調査すること。
• 特定の可算距離空間 $M$ が $\ell_1$ およびAsplund $C(K)$ 空間に埋め込まれる性質を分析すること。
• 低歪み埋め込みとバナッハ空間内での $\ell_1$-コピーの存在との関係を明確にすること。
• 一般化されたラウンドネスおよび自由バナッハ空間が埋め込み制限に果たす役割を調査すること。

提案手法

• グラフ構造に基づく最短経路距離を備えた、$M = \{\emptyset\} \cup \mathbb{N} \cup F$（$F$ は $\mathbb{N}$ のすべての有限非空部分集合の集合）という可算距離空間を構成する。
• 双リプシッツ埋め込み $f: M \to X$ の歪みを $\mathrm{dist}(f) = \inf \frac{C_2}{C_1}$ と定義する。ここで $C_1 d(x,y) \leq \|f(x)-f(y)\| \leq C_2 d(x,y)$ を満たす。
• Zippinの補題と双対性の議論を用いて、$X$ が $D<2$ で双リプシッツ普遍であるならば、$X$ は $\ell_1$ のコピーを含む必要があることを示す。
• ローゼンタールの定理（弱コーシー列に関する）を適用し、$X$ 内の列 $f(n)$ が弱コーシー列でないことを証明することで、$\ell_1$-埋め込みを示す。
• エンフロの一般化ラウンドネスを用いて、$M$ が $L_1(\mu)$ に歪み $D<2$ で埋め込めないことを示す。これは $1 \in gr(L_1(\mu))$ であるためである。
• $\ell_1$ 上に同値ノルムを構成し、$M$ がそのノルム空間に等距埋め込み可能であることを示す。これは、リプシッツ自由空間 $\mathcal{F}(M)$ と $\ell_1$ の同型性を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のAsplundバナッハ空間は、歪みが2未塔ですべての可分距離空間を埋め込むことができるか？
• RQ2 すべての可分距離空間を歪み $D<2$ で埋め込むバナッハ空間は、必然的に $\ell_1$ のコピーを含むか？
• RQ3 構成された距離空間 $M$ が $\ell_1$ に埋め込まれる最小の歪みは何か？
• RQ4 $M$ は $\ell_1$ に歪みが2未塔でないが、$\ell_1$ と同型な空間に等距埋め込み可能か？
• RQ5 $\mathcal{F}(M)$ と $\ell_1$ のバナッハ＝マザス距離は何か？ そしてそれは埋め込み歪みとどのように関係するか？

主な発見

• $M$ はいかなるAsplundバナッハ空間に対しても、歪みが2未塔で埋め込まれない。
• $D<2$ で $M$ を埋め込むバナッハ空間 $X$ は、ローゼンタールの定理と弱コーシー列の議論により、$\ell_1$ の同型コピーを含む必要がある。
• $M$ は一般化ラウンドネスの議論と $1 \in gr(L_1(\mu))$ であることから、$\ell_1$ に歪みが2未塔で埋め込まれない。
• しかし、$M$ はリプシッツ自由空間の構成により、$\ell_1$ と同型なバナッハ空間に等距埋め込み可能である。
• $\mathcal{F}(M)$ と $\ell_1$ のバナッハ＝マザス距離は2以上4以下であり、非自明な同型性を示している。
• $C(K)$ 空間 $X$ が $D<2$ で双リプシッツ普遍であるのは、$K$ が非散乱でない場合に限る。このような空間は、可分バナッハ空間に対して等距普遍である。