[論文レビュー] On topological properties of the weak topology of a Banach space

Saak Gabriyelyan, Jerzy Ka̧kol+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2015

Advanced Banach Space Theory参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

この論文はバナッハ空間およびその閉単位球上の弱位相の位相的性質を調査する。単位球 $ B $ が Pytkeev 性質をもつのは、$ E $ が $ \ell_1 $ の同相写像による像を含まないときであり、かつそのときに限る。また、$ E $ 自身が弱位相で Pytkeev 性質をもつのは、それが有限次元であるときのみである。主な貢献として、$ B $ が可算な $ cs^* $-特徴と $ k $-空間または Čech 完備性の性質をもちいるとき、$ B $ が距離化可能またはポーランド空間であるための特徴づけがなされている。

ABSTRACT

Being motivated by the famous Kaplansky theorem we study various sequential properties of a Banach space $E$ and its closed unit ball $B$, both endowed with the weak topology of $E$. We show that $B$ has the Pytkeev property if and only if $E$ in the norm topology contains no isomorphic copy of $\ell_1$, while $E$ has the Pytkeev property if and only if it is finite-dimensional. We extend Schlüchtermann and Wheeler's result by showing that $B$ is a (separable) metrizable space if and only if it has countable $cs^\ast$-character and is a $k$-space. As a corollary we obtain that $B$ is Polish if and only if it has countable $cs^\ast$-character and is Čech-complete, that supplements a result of Edgar and Wheeler.

研究の動機と目的

• バナッハ空間およびその閉単位球上の弱位相の逐次的および位相的性質を調査すること。
• 弱位相の構造と空間内に $ \ell_1 $-コピーが存在するか否かの関係を明確にすること。
• $ cs^* $-特徴と $ k $-空間の性質を用いて、単位球上の弱位相の距離化可能性および完備性に関する結果を拡張すること。
• 単位球上の弱位相がポーランド空間または距離化可能である条件を特徴づけること。これは、Edgar よりも前の結果を一般化する。

提案手法

• 弱位相の位相的構造を分析するために $ cs^* $-特徴不変量を用いる。
• Pytkeev 性質および逐次的性質を用いて、弱位相を分類する。
• $ \aleph $-空間、$ k $-空間、および Čech 完備性に関する定理を含む、関数解析学および一般位相の結果を活用する。
• 双対空間 $ E' $ の双対性および分離性を用いて、$ E_w $ および $ B_w $ の位相的性質を特徴づける。
• 無限次元空間では強 Pytkeev 性質が成り立たないことを用いて、位相的挙動の違いを明確にする。
• 反例（例えば $ \ell_1 $、$ c_0 $）を用いて、主定理における条件の必要性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ空間の閉単位球上の弱位相が Pytkeev 性質をもつのは、どのようなときか？
• RQ2 バナッハ空間 $ E $ にどのような条件が満たされると、その弱位相が距離化可能またはポーランド空間になるか？
• RQ3 $ \ell_1 $-コピーの存在が、$ E_w $ の逐次的および位相的構造にどのように影響するか？
• RQ4 双対空間の分離性が、$ E_w $ および $ B_w $ の $ cs^* $-特徴に果たす役割は何か？
• RQ5 $ k $-空間または $ \aleph $-空間の性質を用いて、単位球上の弱位相の距離化可能性または完備性を特徴づけられるか？

主な発見

• 閉単位球 $ B $ が弱位相で Pytkeev 性質をもつのは、$ E $ が $ \ell_1 $ の同相写像による像を含まないときであり、かつそのときに限る。
• バナッハ空間 $ E $ が弱位相で Pytkeev 性質をもつのは、それが有限次元であるときであり、かつそのときに限る。
• 単位球 $ B_w $ が距離化可能であるのは、$ B_w $ が可算な $ cs^* $-特徴をもち、かつ $ k $-空間であるときである。
• 単位球 $ B_w $ がポーランド空間であるのは、$ B_w $ が可算な $ cs^* $-特徴をもち、かつ Čech 完備であるときであり、Edgar と Wheeler の結果を補足する。
• 反射的バナッハ空間では、$ B_w $ がポーランド空間であっても、$ E_w $ は強 Pytkeev 性質をもたない。
• 空間 $ \ell_1 $ は反例として用いられ、定理 1.8 の $ k $-空間条件を除くことはできないことを示しており、$ B_w $ がほとんど Čech 完備であるにもかかわらず $ k $-空間でないからである。