[論文レビュー] Lower Bounds for Learning Quantum States with Single-Copy Measurements

Angus Lowe, Ashwin Nayak|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2022

Machine Learning and Algorithms被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、単一コピーの非適応的または適応的測定を用いた量子状態の学習における標本複雑度のタイトな下界を確立する。パウリトモグラフィーが情報理論的に最適であることを証明し、測定が効率的に実装可能な場合、適応性に利点がないことを示し、ランク-r状態に対してはΩ(r²d/ε²)、シャドウトモグラフィーに対してはΩ(d log M / ε²)の標本複雑度の下界を示す。

ABSTRACT

We study the problems of quantum tomography and shadow tomography using measurements performed on individual, identical copies of an unknown $d$-dimensional state. We first revisit a known lower bound due to Haah et al. (2017) on quantum tomography with accuracy $ε$ in trace distance, when the measurements choices are independent of previously observed outcomes (i.e., they are nonadaptive). We give a succinct proof of this result. This leads to stronger lower bounds when the learner uses measurements with a constant number of outcomes. In particular, this rigorously establishes the optimality of the folklore ``Pauli tomography" algorithm in terms of its sample complexity. We also derive novel bounds of $Ω(r^2 d/ε^2)$ and $Ω(r^2 d^2/ε^2)$ for learning rank $r$ states using arbitrary and constant-outcome measurements, respectively, in the nonadaptive case. In addition to the sample complexity, a resource of practical significance for learning quantum states is the number of different measurements used by an algorithm. We extend our lower bounds to the case where the learner performs possibly adaptive measurements from a fixed set of $\exp(O(d))$ measurements. This implies in particular that adaptivity does not give us any advantage using single-copy measurements that are efficiently implementable. We also obtain a similar bound in the case where the goal is to predict the expectation values of a given sequence of observables, a task known as shadow tomography. Finally, in the case of adaptive, single-copy measurements implementable with polynomial-size circuits, we prove that a straightforward strategy based on computing sample means of the given observables is optimal.

研究の動機と目的

• 単一コピー測定を用いた量子状態トモグラフィーの情報理論的下界を標本複雑度について確立すること。
• 測定が効率的に実装可能な場合、適応的測定戦略が非適応的戦略よりも標本複雑度に利点をもたらすかを同定すること。
• 単一コピー測定制約下におけるシャドウトモグラフィーの標本複雑度を分析すること。
• パウリトモグラフィーのアルゴリズムが標本複雑度の観点で厳密に最適であることを正当化すること。
• 測定の効率（一意な設定の数）と標本複雑度の間のトレードオフを定量化すること。

提案手法

• ランク1の測定演算子に依存しないように、確率分布間のχ²発散を用いて下界を導出する。
• χ²発散の濃縮を用いて、固定されたexp(O(d))の測定設定からなる集合に対して、適応的測定戦略への下界を拡張する。
• ベルンシュタインの不等式を用いて、古典的シャドウトモグラフィーにおける観測値の標本平均の濃縮を分析する。
• 量子状態のパッキングを構築することで、ランクrと次元dに依存する下界を導出する。
• i.i.d. 測定を用いて期待値の不偏推定量を計算することで、古典的シャドウフレームワークを分析する。
• 効率的で定数出力の測定に対して、標本平均の計算が最適であり、既知の情報理論的下界と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d次元の量子状態をトレース距離εで学習するために必要な最小の単一コピー測定回数は何か？
• RQ2 固定された、効率的に実装可能な測定設定の集合を用いる場合、適応性が標本複雑度に利点をもたらすか？
• RQ3 パウリトモグラフィーのアルゴリズムは、量子状態の学習において標本複雑度の観点で最適か？
• RQ4 ランク-r量子状態を単一コピー測定で学習するための最もタイトな標本複雑度の下界は何か？
• RQ5 一意な測定設定の数が量子状態学習における標本複雑度に与える影響は何か？

主な発見

• 本稿は、非適応的単一コピートモグラフィーに対してΩ(d³/ε²)の下界を確立し、KRT17およびGKKT20の上界と一致する。
• ランク-r状態に対しては、任意の単一コピー測定ではΩ(r²d/ε²)、定数出力測定ではΩ(r²d²/ε²)の標本複雑度下界が得られる。
• 測定セットがexp(O(d))の設定に制限される場合、適応的測定戦略は標本複雑度を改善しない。これは、この領域では適応性に利点がないことを示唆する。
• 2出力測定を用いた古典的シャドウフレームワークは、M個の観測量を予測する際、O(d log M / ε²)の標本複雑度を達成し、既知の下界とlog²(M)要因を除いて一致する。
• パウリトモグラフィーのアルゴリズムは、情報理論的に最適であり、その標本複雑度が導出された下界と一致する。
• 多項式サイズの回路で実装可能な適応的単一コピー測定に対しては、観測量の標本平均の計算が最適であり、これより優れた戦略は存在しない。