[論文レビュー] Sample efficient tomography via Pauli Measurements

Nengkun Yu|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2020

Quantum Information and Cryptography参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、n-キュービット系におけるサンプル効率の良い量子状態トモグラフィーおよびオーバーラップトモグラフィーがパウリ測定によって達成可能であることを確立している。全状態トモグラフィーの最適なサンプル複雑度O(10ⁿ log(1/δ)/ε²)とk-キュービット縮約密度行列推定のO(10ᵏ log(ⁿ choose k /δ)/ε²)を証明し、定数kに対しては結合測定が漸近的優位性を示さないことを示している。

ABSTRACT

Pauli Measurements are the most important measurements in both theoretical and experimental aspects of quantum information science. In this paper, we explore the power of Pauli measurements in the state tomography related problems. Firstly, we show that the extit{quantum state tomography} problem of $n$-qubit system can be accomplished with ${\mathcal{O}}(\frac{10^n}{ε^2})$ copies of the unknown state using Pauli measurements. As a direct application, we studied the extit{quantum overlapping tomography} problem introduced by Cotler and Wilczek in Ref. \cite{Cotler_2020}. We show that the sample complexity is $\mathcal{O}(\frac{10^k\cdot\log({{n}\choose{k}}/δ))}{ε^{2}})$ for quantum overlapping tomography of $k$-qubit reduced density matrices among $n$ is quantum system, where $1-δ$ is the confidential level, and $ε$ is the trace distance error. This can be achieved using Pauli measurements. Moreover, we prove that $Ω(\frac{\log(n/δ)}{ε^{2}})$ copies are needed. In other words, for constant $k$, joint, highly entangled, measurements are not asymptotically more efficient than Pauli measurements.

研究の動機と目的

• パウリ測定のみを用いた正確な量子状態トモグラフィーに必要な最小の状態コピー数を特定すること。
• n-キュービット系におけるすべてのk-キュービット縮約密度行列を再構築する量子オーバーラップトモグラフィーのサンプル複雑度を解明すること。
• 状態トモグラフィーの文脈において、パウリ測定と結合（エンタングルド）測定の効率を比較すること。
• トレース距離誤差と信頼水準制約下でのパウリベーストモグラフィーのサンプル複雑度に対するタイトな上界と下界を確立すること。

提案手法

• 未知の量子状態の各コピーの個々のキュービットに対してパウリ測定を実行し、期待値を推定する。
• 集中不等式と和集合不等式を用いて、すべてのk-キュービット部分系における誤差を制御する。
• 各パウリ基底を十分に頻繁にサンプリングすることで、信頼性の高い推定を保証する確率的測定スキームを採用する。
• 尾確率解析と二項係数の推定を用いて、各パウリ基底ごとの測定回数の境界を導出する。
• パウリ演算子が密度行列の基底を形成することを応用し、線形逆転を用いて全状態を再構築する。
• すべてのk-キュービット部分系およびすべてのパウリ基底にわたる和集合不等式を適用し、高確率での成功を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パウリ測定のみを用いたn-キュービット量子状態トモグラフィーにおける最適なサンプル複雑度は何か？
• RQ2 パウリ測定は、量子オーバーラップトモグラフィーにおいて結合測定と同等の漸近的サンプル複雑度を達成できるか？
• RQ3 縮約密度行列のキュービット数kに伴い、サンプル複雑度はどのようにスケーリングするか？
• RQ4 状態再構築において、結合測定がパウリ測定に比べて根本的な利点を提供するか？
• RQ5 トレース距離誤差εおよび信頼度1−δで、すべてのk-キュービット縮約密度行列を推定するために必要な最小コピー数は何か？

主な発見

• パウリ測定を用いたn-キュービット状態トモグラフィーのサンプル複雑度はO(10ⁿ log(1/δ)/ε²)であり、対数要因を除いて最適である。
• 量子オーバーラップトモグラフィーにおいて、サンプル複雑度はO(10ᵏ log(ⁿ choose k /δ)/ε²)であり、この問題の既知の最良境界と一致する。
• 下界Ω(log(n/δ)/ε²)のコピー数が確立され、定数kに対して結合測定がパウリ測定を漸近的に上回らないことが示された。
• 分析により、複数の縮約密度行列を再構築する場合でも、パウリ測定が最適なサンプル複雑度を達成可能であることが確認された。
• 測定頻度を制御し、二項分布の尾部に集中不等式を適用することで、高確率での再構築（1−δ）が保証された。
• 定数kに対しては、高々エンタングルされた結合測定が、サンプル効率の観点からパウリ測定に漸近的優位性を示さないことが示唆された。