[論文レビュー] Lower Bounds for Quantum Search and Derandomization

Harry Buhrman, Ronald de Wolf|ArXiv.org|Nov 18, 1998

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 17被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、量子探索アルゴリズムのクエリ複雑度に対する根本的な下界を確立し、T=O(√N)のとき、誤差が定数未満に抑えられないこと、およびRPマシンの成功確率を拡張する際、量子アルゴリズムが古典的手法を著しく上回ることはできないこと、さらに順序付きリストにおける有界誤差探索のクエリ数下限がΩ(√(log N)/log log N)であることを示している。

ABSTRACT

We prove lower bounds on the error probability of a quantum algorithm for searching through an unordered list of N items, as a function of the number T of queries it makes. In particular, if T=O(sqrt{N}) then the error is lower bounded by a constant. If we want error <1/2^N then we need T=Omega(N) queries. We apply this to show that a quantum computer cannot do much better than a classical computer when amplifying the success probability of an RP-machine. A classical computer can achieve error <=1/2^k using k applications of the RP-machine, a quantum computer still needs at least ck applications for this (when treating the machine as a black-box), where c>0 is a constant independent of k. Furthermore, we prove a lower bound of Omega(sqrt{log N}/loglog N) queries for quantum bounded-error search of an ordered list of N items.

研究の動機と目的

• クエリ回数を関数とする量子探索アルゴリズムの誤差確率のタイトな下界を確立すること。
• 古典的手法と比較して、量子アルゴリズムがRPマシンの成功確率を拡張する際の制限を分析すること。
• 有界誤差条件の下で、順序付きリストにおける量子探索の下界を導出すること。
• 量子アルゴリズムが決定的化設定において、古典的手法よりも著しく誤差低減を効率よく行えないことを示すこと。

提案手法

• 敵対的アプローチと情報理論的議論を用いて、誤差確率を制限する量子クエリ複雑度を分析する。
• 量子クエリモデルを用い、RPマシンをブラックボックスとしてシミュレートし、各クエリを計算の単位として扱う。
• 量子クエリの上限と古典的決定的化技術を組み合わせたハイブリッド的議論を用いて、性能を比較する。
• 矛盾による導出と、限られたクエリ数における量子状態の進化の構造的解析を通じて、下界を導出する。
• 比較の基準として、既知の量子クエリ複雑度の結果（例：グローバーのアルゴリズム）を用いる。
• 比較のモデル化と探索空間内の対称性および構造を用いて、順序付きリスト探索を考察する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サイズNの無順序リストを探索する際、誤差<1/2^Nを達成するための量子アルゴリズムが必要な最小クエリ数は何か？
• RQ2 クエリ数がO(√N)のとき、量子探索アルゴリズムの誤差確率はどのようにスケーリングされるか？
• RQ3 量子アルゴリズムは、RPマシンの成功確率を拡張する際に、古典的アルゴリズムを上回ることができるか？
• RQ4 サイズNの順序付きリストにおける有界誤差量子探索のクエリ複雑度下限は何か？
• RQ5 量子アルゴリズムは、RPマシンの決定的化において、古典的手法よりもどれほど効率的に行えるか？

主な発見

• サイズNの無順序リストを探索する際、T=O(√N)のクエリ数を用いる量子アルゴリズムの誤差確率は、定数以上に下限づけられる。
• 誤差<1/2^Nを達成するためには、量子アルゴリズムがT=Ω(N)のクエリ数を必要とし、これは古典的下界と一致する。
• RPマシンの成功確率を拡張する際、k回の適用が必要な古典的手法に対して、量子コンピュータでも誤差≤1/2^kを達成するにはΩ(k)のクエリ数が必要である。
• 本論文は、サイズNの順序付きリストにおける有界誤差量子探索のクエリ数下限がΩ(√(log N)/log log N)であることを証明している。
• 量子アルゴリズムは、RPマシンの決定的化タスクにおいて、古典的手法を著しく上回ることはできない。
• 結果として、決定的化における量子加速は限定的であり、誤差低減の根本的クエリコストを打ち破ることはできない。