[論文レビュー] Lower-Order Biases Second Moments of Dirichlet Coefficients in Families of $L$-Functions

Megumi Asada, Ryan Chen+10 more|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2018

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ひとこと要約

本稿は、楕円曲線、ディリクレ指標、正則モジュラー形式を含むL関数族におけるディリクレ係数の2次モーメントの低次のバイアスを調査する。共形的技法と明示的な指標和計算を用いて、特に定数j不変量、複素乗乗法、正のランクを持つ族を含む多数の族において、2次モーメント展開における最大の非平均化低次項が平均的に常に負であることを証明する。これはバイアス予想を支持し、過剰ランク予想および中心点付近の零点分布と関連付ける。

ABSTRACT

Let $\mathcal E: y^2 = x^3 + A(T)x + B(T)$ be a nontrivial one-parameter family of elliptic curves over $\mathbb{Q}(T)$, with $A(T), B(T) \in \mathbb Z(T)$, and consider the $k$ extsuperscript{th} moments $A_{k,\mathcal{E}}(p) := \sum_{t (p)} a_{\mathcal{E}_t}(p)^k$ of the Dirichlet coefficients $a_{\mathcal{E}_t}(p) := p + 1 - |\mathcal{E}_t (\mathbb{F}_p)|$. Rosen and Silverman proved a conjecture of Nagao relating the first moment $A_{1,\mathcal{E}}(p)$ to the rank of the family over $\mathbb{Q}(T)$, and Michel proved that if $j(T)$ is not constant then the second moment is equal to $A_{2,\mathcal{E}}(p) = p^2 + O(p^{3/2})$. Cohomological arguments show that the lower order terms are of sizes $p^{3/2}, p, p^{1/2}$, and $1$. In every case we are able to analyze in closed form, the largest lower order term in the second moment expansion that does not average to zero is on average negative, though numerics suggest this may fail for families of moderate rank. We prove this Bias Conjecture for several large classes of families, including families with rank, complex multiplication, and constant $j(T)$-invariant. We also study the analogous Bias Conjecture for families of Dirichlet characters, holomorphic forms on GL$(2)/\mathbb{Q}$, and their symmetric powers and Rankin-Selberg convolutions. We identify all lower order terms in large classes of families, shedding light on the arithmetic objects controlling these terms. The negative bias in these lower order terms has implications toward the excess rank conjecture and the behavior of zeros near the central point in families of $L$-functions.

研究の動機と目的

• L関数族におけるディリクレ係数の2次モーメントの低次バイアスの存在と性質を調査すること。
• 2次モーメント展開における最大の非平均化低次項が、さまざまなL関数族において一貫して負であるかどうかを特定すること。
• 楕円曲線にとどまらず、ディリクレ指標、GL(2)/Q上の正則カスプ形式、およびその対称べきおよびランキン・セルバーグ畳み込みを含む分析を拡張すること。
• このようなバイアスが過剰ランク予想およびL関数族における中心点付近の零点分布に与える影響を調査すること。
• 低次項を制御する算術的対象を特定し、ランクがより高い族においてもバイアスが継続するかどうかを評価すること。

提案手法

• 2次モーメントをp²、p^{3/2}、p、p^{1/2}、1の項に分解する共形的議論を用い、支配的で非平均化の低次項を分離する。
• 指標和技法とルジャンドル記号の評価を用いて、特に定数j不変量を持つ族に対して、楕円曲線のpを法とする点の正確な数を計算する。
• ガウス和の恒等式と二次相互法則を用いて、有限体上の和を評価し、特にx² + xy + y² ≡ 0 mod pおよび関連するディオファントス的条件を含む場合に有効である。
• Tをパrameterとする楕円曲線族（例：y² = x³ - T^r A xおよびy² = x³ + T^r B）を分析し、k次モーメントの閉形式表現を導出する。
• GL(1)族（ディリクレ指標）およびGL(2)族（カスプ形式）に結果を拡張し、L関数の性質および対称べき上りを用いる。
• 数値的データと計算的ヒューリスティクスを用いて、閉形式が得られない高ランク族および高次モーメントにおけるバイアス行動をテストする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 L関数族全体において、ディリクレ係数の2次モーメントにおける最大の非平均化低次項が、平均的に常に負であるか。
• RQ2 2次モーメント展開における低次項が、ランク、複素乗乗法、j不変量などの算術的不変量とどのように関係するか。
• RQ3 特にランク≥4の高ランク族において、2次モーメントの負のバイアスが継続するか。
• RQ4 高次モーメント（例：4次、6次）においてバイアスを数値的に検出可能か。低ランク族においても負のまま保たれるか。
• RQ5 2次モーメントにおける支配的で非平均化の低次項の共形的または算術的起源は何か。

主な発見

• 定数j不変量、複素乗乗法、または正のランクを持つすべての楕円曲線族において、2次モーメントにおける最大の非平均化低次項は平均的に負であり、バイアス予想を支持する。
• 線形族の楕円曲線に対する2次モーメント展開は、p³ - 2p² - 2(p² - p)(-3/p)の項を含み、p²項における負のバイアスを確認する。
• j不変量が0または1728の族では、明示的計算により2次モーメントに-j=0では-2p²(1 + (-3/p))の項が含まれ、j=1728でも類似構造が存在し、平均的負バイアスに寄与する。
• 数値的証拠から、高ランク族（ランク≥4）ではバイアスが逆転し正の値をとる可能性があることが示唆され、行動における潜在的な相転移を示唆する。
• 高次モーメント（4次、6次）において、主な非平均化項はp^{5/2}またはp^{7/2}のオーダーであり、データから低ランク族では負のバイアスが示唆されるが、より大きな平均化項に埋もれている可能性がある。
• 奇数次のモーメント（2k+1）の主要項の平均は -C_{k+1} r p^{k+1} であることが判明し、C_nがn番目のカタラン数であることを踏まえると、奇数次のモーメントに対しても体系的な負のバイアスが存在することが示唆される。