[論文レビュー] Variation in the number of points on elliptic curves and applications to excess rank

Steven J. Miller|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2005

Analytic Number Theory Research参考文献 28被引用数 29

ひとこと要約

この論文は、$\mathbb{Q}(T)$ 上の1パrameter族における楕円曲線の点の数の2次のモーメントに対するMichelの評価の鋭さを確立し、$y^2 = x^3 + Tx^2 + 1$ の族に対して明示的な計算により $O(p^{3/2})$ の誤差項が最適であることを示している。さらに、このモーメントの低次の項が $L$-関数の $n$-レベル密度における補正に寄与することを示し、有限導手数範囲における平均的次数の予測に与える影響を明らかにしている。

ABSTRACT

Michel proved that for a one-parameter family of elliptic curves over Q(T) with non-constant j(T) that the second moment of the number of solutions modulo p is p^2 + O(p^{3/2}). We show this bound is sharp by studying y^2 = x^3 + Tx^2 + 1. Lower order terms for such moments in a family are related to lower order terms in the n-level densities of Katz and Sarnak, which describe the behavior of the zeros near the central point of the associated L-functions. We conclude by investigating similar families and show how the lower order terms in the second moment may affect the expected bounds for the average rank of families in numerical investigations.

研究の動機と目的

• 楕円曲線の1パrameter族に対して、$p$ を法とする点の数の2次のモーメントに関するMichelの $O(p^{3/2})$ 評価が鋭いかどうかを証明すること。
• 2次のモーメントにおける低次の項が、特に中心点付近における $L$-関数の $n$-レベル密度にどのように寄与するかを分析すること。
• これらの補正項が、導手が有限である族の数値的調査における平均的解析的次数の上界にどのように影響するかを調査すること。
• 族 $y^2 = x^3 + Tx^2 + 1$ の2次のモーメントに $p^{3/2}$ サイズの項が存在することを示し、Michelの推定値の鋭さを確認すること。

提案手法

• ガウス和展開を用いてリーマン・ヤコビ記号を表現し、指数和を介して2次のモーメント $A_{2,\chi}(p) = \sum_{t \bmod p} a_t(p)^2$ を評価する。
• リーマン・グロタンディークのトレース公式と文字和技術を用いて、$t \bmod p$ における和を分析する。
• 非自明な寄与が $cx^2 \equiv dy^2 \bmod p$ のときのみ生じることを同定し、立方根の単位根と文字和に帰着させる。
• $x^3 \equiv 2 \bmod p$ の解の個数 $n_{3,2,p}$ と $4x^3 + 1$ を含む文字和を用いて、和を明示的に評価する。
• $L$-関数の1レベル密度とフーリエ解析を用いて、中心点付近の零点分布をモデル化し、2次のモーメントからの補正を組み込む。
• 2次のモーメントからの低次の項を密度モデルに組み込むことで、族における平均的解析的次数の上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Michelの $O(p^{3/2})$ 評価が、楕円曲線の点の数の2次のモーメントに対して鋭いか、より大きな $p^{3/2}$ 項が実現可能か？
• RQ2 2次のモーメントにおける低次の項が、$L$-関数の1レベル密度および中心点付近の零点分布にどのように影響するか？
• RQ3 これらの低次の補正項が、導手が有限である楕円曲線族の平均的解析的次数の予測上界にどれほど影響を及ぼすか？
• RQ4 族 $y^2 = x^3 + Tx^2 + 1$ の2次のモーメントを正確に計算でき、$p^{3/2}$ サイズの補正項を示すことができるか？

主な発見

• 族 $y^2 = x^3 + Tx^2 + 1$ の2次のモーメントは、正確に $A_{2,\mathcal{E}}(p) = p^2 - n_{3,2,p}p - 1 + p\sum_{x \bmod p} \left(\frac{4x^3 + 1}{p}\right)$ に等しく、Michelの評価の鋭さが確認された。
• 無限個の素数 $p \equiv 1 \bmod 3$ に対して、差 $A_{2,\mathcal{E}}(p) - (p^2 - n_{3,2,p}p - 1)$ が $[a p^{3/2}, b p^{3/2}]$ の区間内に存在し、$p^{3/2}$ 項が非自明かつ最適であることが証明された。
• 2次のモーメントにおける低次の項 $-m_{\mathcal{E}}p$ は、平均的解析的次数の上界に顕著な寄与をし、$m_{\mathcal{E}} = 1$ かつ $R \sim 10^{12}$ のとき最大で $1.03$ を追加する（$\sigma = 1$ を仮定）。
• 1レベル密度が $\sigma = 1$ までしか分かっていない場合、補正項は平均的次数の上界に $0.03$ を追加し、$r + \frac{1}{2}$ から $r + \frac{1}{2} + 1.03$ に上昇させる。
• 1レベル密度が $\sigma = 2$ まで分かっていると仮定した場合、$\frac{1}{\sigma}$ 項は $0.5$ を寄与させ、補正項は $0.02$ を寄与させ、上界は $r + \frac{1}{2} + 0.52$ に達する。これはFermigierが観測した $r + \frac{1}{2} + 0.40$ に近い。
• 本研究では、2次のモーメントにおける低次の項が1レベル密度に族依存の補正をもたらし、有限導手数範囲の予測に影響を与え、ランダム行列モデルにおける普遍性を破ることが判明した。