[論文レビュー] Lp estimates for the homogenization of stokes problem in a perforated domain

Amina Mecherbet, Matthieu Hillairet|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$N$ 動いている粒子を含む穿孔領域におけるストークス問題の均質化に関する定量的 $L^p$-ノルム推定を確立し、速度場 $u^N$ がストークス＝ブリンクマン方程式の解 $ar{u}$ に収束することを示している。一様な間隔、有界な半径、一様に有界な運動エネルギーの下で、収束速度は粒子分布の経験的測度とその極限との間の双対 Hölder または有界リプシッツノルムでの距離に依存する。

ABSTRACT

In this paper, we consider the Stokes equations in a perforated domain. When the number of holes increases while their radius tends to 0, it is proven in [L. Desvillettes, F. Golse and V. Ricci. The mean field limit for solid particles in a Navier-Stokes flow. J. Stat. Phys. 131: 941-967, 2008], under suitable dilution assumptions, that the solution is well-approximated asymptotically by solving a Stokes-Brinkman equation. We provide here quantitative estimates in L p-norms of this convergence.

研究の動機と目的

• 穿孔領域に $N$ 個の穴を持つストークス問題における速度場 $u^N$ の $L^p$-ノルム推定を定量的に提供し、ストークス＝ブリンクマン方程式の解に収束することを示すこと。
• 粒子の位置、速度、半径の経験的測度とその極限分布との間の距離を用いて、収束速度を分析すること。
• 従来の弱収束結果を、極限粒子分布に対して最小限の正則性仮定のもとで $L^p$-空間における強い収束推定に拡張すること。
• 粒子の間隔、半径、運動エネルギーが均質化誤差に与える影響を定量化すること。
• 双対ノルム（密度およびフラックスの経験的分布と極限分布の差の）を用いた誤差境界を確立し、Zolotarev型および Hölder 型の距離を含むこと。

提案手法

• 穿孔領域内での粒子の位置、速度、半径の漸近的分布を記述するために経験的測度 $S_N$ を用いる。
• マクロなフラックス $j^N$ と密度 $\rho^N$ を、$S_N$ の一次モーメントの $6\pi$ 倍として定義し、ストークスの法則と整合する。
• コンパクト埋め込みおよび拡張技術を用いて、$E_\Omega[u^N] - \bar{u}$ の $L^p$-ノルムを制御する（ここで $E_\Omega$ はゼロによる拡張を表す）。
• 滑らか化核 $\chi_\delta$ を用いた畳み込みを用いて、拡張された速度場を正則化し、Sobolev および Hölder ノルムを制御する。
• 双対空間 $\mathcal{C}^{0,\alpha}(\bar{\Omega})$ および $\mathcal{C}^{0,1}(\bar{\Omega})$ の双対空間を用いた双対推定を介して誤差境界を導出する。
• 有界リプシッツノルムおよび Zolotarev 型距離を用いて、経験的分布と極限分布との間の乖離を測定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 穿孔領域におけるストークス問題の解 $u^N$ が、$L^p$-ノルムでストークス＝ブリンクマン方程式の解 $ar{u}$ にどの程度の速さで収束するか？
• RQ2 収束速度が、Hölder 空間の双対空間における経験的粒子分布とその極限分布との間の距離にどのように依存するか？
• RQ3 穴の均一な間隔、有界な半径、有界な運動エネルギーが $L^p$-誤差推定に与える影響は何か？
• RQ4 経験的および極限フラックスおよび密度場の間の Zolotarev 型距離を用いて収束速度を定量化できるか？
• RQ5 極限粒子分布に対して最小限の正則性仮定のもとで、$N$（穴の数）に関して誤差の最適スケーリングは何か？

主な発見

• 間隔、半径、運動エネルギーに関する仮定の下で、$p \in (1, 3/2)$ に対して、$\|E_\Omega[u^N] - \bar{u}\|_{L^p(\Omega)}$ は $K\left(\|\rho^N - \rho\|_{(\mathcal{C}^{0,1}(\bar{\Omega}))^*} + \frac{1}{N^{1/3}}\right)^{1/3} E_0$ で有界である。
• $\alpha \in (0,1)$ に対して、$p \in (1, 3/(1+\alpha))$ および $q \in (3/(2-\alpha), \infty)$ に対して、誤差は $\|E_\Omega[u^N] - \bar{u}\|_{L^p(\Omega)} \leq K\left(\|j^N - j\|_{(\mathcal{C}^{0,\alpha}(\bar{\Omega}))^*} + \|\rho^N - \rho\|_{(\mathcal{C}^{0,\alpha}(\bar{\Omega}))^*} + \frac{E_0}{N^{\min(1/3, \alpha)}} + \frac{\|j\|_{L^q(\Omega)}}{N^{\alpha/3}}\right)$ を満たす。
• 極限分布の Hölder 正則性 $\alpha$ が高くなるほど収束速度が向上し、$\alpha < 1/3$ のとき $O(N^{-\alpha/3})$ の収束が達成される。
• 誤差推定は、経験的分布と極限分布の密度およびフラックスの差の双対ノルムに依存し、運動エネルギー $E_0$ に明示的な依存関係を持つ。
• $(4R_0/C_0)^{3/2} \leq N$ の範囲で、$N$ に対して一様な有界性が保証され、漸近的状態でも有効である。
• 本手法は有界リプシッツ距離および Zolotarev 型距離の両方に対応でき、粒子分布の乖離を測定する柔軟性を提供する。