[論文レビュー] Lp-Solutions for Reected Backward Stochastic Differential Equations

Saïd Hamadène, Alexandre Popier|ArXiv.org|Jul 11, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、L^p-解（p ∈ (1,2)）が、L^p-可積分な終値、生成子、および障害過程をもつ1つの反射型後向き確率微分方程式（RBSDE）に対して存在および一意性を確立する。ペナルティ法とスネル包絡線法を用い、関連する障害付き偏微分方程式が一意な可視解をもつための許容可能なデータのクラスを拡張し、標準的な二乗可積分性の仮定を緩和する。

ABSTRACT

This paper deals with the problem of existence and uniqueness of a solution for a backward stochastic differential equation (BSDE for short) with one reflecting barrier in the case when the terminal value, the generator and the obstacle process are Lp-integrable with p in ]1,2[. To construct the solution we use two methods: penalization and Snell envelope. As an application we broaden the class of functions for which the related obstacle partial differential equation problem has a unique viscosity solution.

研究の動機と目的

• 標準的なL^2設定を超えて、反射型BSDEの存在および一意性理論を拡張すること。
• 終値、生成子、および障害がL^p-可積分である場合（p∈(1,2)）に、RBSDEのL^p-解を確立すること。
• 弱い可積分性条件下で、障害付きPDEの可視解に対する確率的表現を提供すること。
• L^p-データのもとで、関連する障害付きPDEが一意な可視解をもつ関数のクラスを一般化すること。

提案手法

• 反射制約を強制するペナルティ項を含む、標準的なBSDEの列にRBSDEを近似するためにペナルティ法を用いる。
• 障害過程よりも大きい最小の上位解を特徴付けるためにスネル包絡線技術を適用する。
• 固定点論と最適停止理論を組み合わせ、スネル包絡線アプローチを用いて解を構成する。
• 終値、生成子、障害に対してL^p仮定のもとで、解成分（Y, Z, K）に対する事前推定を確立する。
• 伊藤の公式とBDG型不等式を用いて、確率積分および解のL^pノルムを制御する。
• ペナルティ方程式の構造と極限の議論を活用して、L^p-解の比較定理を用いて一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 終値、生成子、障害がL^p-可積分である場合（p∈(1,2)）に、反射型BSDEに対してL^p-解を構成できるか？
• RQ2 p<2の場合に、ペナルティ法が反射型BSDEの解列をL^p-収束に持つのか？
• RQ3 弱い可積分性のもとで、スネル包絡線法を反射型BSDEのL^p-解の構成に適応できるか？
• RQ4 RBSDEの確率的解が、L^p-データのもとで関連する障害付きPDEに対して一意な可視解を提供するか？
• RQ5 L^p-データのもとで、障害付きPDEが一意な可視解をもつ関数の最大クラスは何か？

主な発見

• 終値、生成子、障害がL^p-可積分である場合（p∈(1,2)）に、1つの反射壁をもつRBSDEはL^pで一意な解をもつ。
• 解は2つの独立した方法（ペナルティ法とスネル包絡線法）によって構成され、両者とも同じL^p-解をもたらす。
• ペナルティ列は、L^pでRBSDEの解に収束し、極限においてペナルティ項は消える。
• スネル包絡線法は、障害を上回る最小の上位解の直接的な確率的構成を提供する。
• RBSDEの解は、関連する障害付きPDEの一意な可視解の確率的表現を提供する。
• L^p-データのもとで、障害付きPDEが一意な可視解をもつ関数のクラスは、古典的なL^2設定を越えて拡張される。