[論文レビュー] Lp Solutions of Quadratic BSDEs

Hanlin Yang|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、p > 1 に対して L^p に値をとる終端値をもつ一般の2次型後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）に対して、L^p 解の存在、一意性、安定性を、弱い成長条件および凸性条件下で確立する。先行研究を拡張するため、L^p 型推定と θ-技法を用いて、関連する2次型PDEの粘性解に対する比較定理および確率的表現を導出する。

ABSTRACT

We study a general class of quadratic BSDEs with terminal value in Lp for p > 1. First of all, we give an Lp-type estimate and existence result. Under the additional assumption of monotonicity and convexity, we derive the comparison theorem, uniqueness and stability result via θ-technique (Briand and Hu [7]). The assumptions employed throughout this paper are rather weak and extend the quadratic BSDE literature. Finally, a probabilistic representation for the viscosity solution to the associated quadratic PDEs is given.

研究の動機と目的

• p > 1 に対して、終端値が L^p に属する2次型BSDEの L^p 解の存在を確立すること。
• 単調性および凸性仮定の下で、比較定理、一意性、安定性の結果を拡張すること。
• 生成子における弱い成長条件を用いることで、2次型および非2次型BSDEの取り扱いを統一すること。
• 関連する2次型PDEの粘性解に対する確率的表現を提供すること。
• 従来の結果を一般化し、終端条件および生成子の可積分性・成長仮定を緩和すること。

提案手法

• p ≥ 1 に対して |y|^p の一般化された伊藤の公式を用いて、L^p 型の事前推定を導出する。
• Briand と Hu (2003) が提案した θ-技法を応用し、凸性および単調性の下で比較、一意性、安定性を証明する。
• 局所化手続きと単調安定性を組み合わせ、近似可能な有界BSDEから解を構成する。
• Krylov の推定を用いて、生成子内の2次成長項 f(|y|)|z|^2 を制御する。
• マルコフ型フレームワークを用いて解を構成し、BSDEを前向きSDEに関連づけ、Feynman-Kacの公式を適用する。
• 粘性解の定義と伊藤の公式を用いて、解が粘性の意味でPDEを満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 終端値が L^p に属する2次型BSDEが、L^p 解をもつための条件は何か？
• RQ2 終端値が有界でない場合、2次型BSDEに対して比較、一意性、安定性の結果をどのように確立できるか？
• RQ3 θ-技法を、f(|y|)|z|^2 のような形の成長を示す2次生成子に適応できるか？
• RQ4 2次型BSDEの解と関連PDEの粘性解との間にどのような関係があるか？
• RQ5 生成子および終端条件に対する弱い仮定が、解の存在性および正則性に与える影響は何か？

主な発見

• 生成子が |F(t,y,z)| ≤ α_t + φ(|y|) + γ|z| + f(|y|)|z|^2 を満たす2次型BSDEに対して、L^p 型の事前推定が確立された。
• 終端条件および ∫₀ᵀ α_s ds が p > 1 に対して L^p に属するという仮定の下で、L^p 解の存在が証明された。
• 生成子の単調性および凸性の下で、比較定理が成り立ち、解の順序保存性が保証される。
• 同一の単調性および凸性条件下で、θ-技法を用いて解の一意性が確立された。
• 同一の仮定の下で、L^p 範囲における解の安定性が証明された。
• 確率的表現が導出された：BSDEの解 Y_t は、関連する2次型PDEの粘性解であり、多項式成長の境界 |u(t,x)| ≤ c(1 + |x|^q) を満たす。