[論文レビュー] Quadratic BSDEs with L 2 -terminal data Existence results, Krylov's estimate and Itô-Krylov's formula ∗

Khaled Bahlali, Mhamed Eddahbi+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、指数モーメントや生成子の連続性の仮定を必要としない、新しいアプローチを用いて、平方可積分な終値データおよび可測な生成子を持つ2次後向きストキャスティック微分方程式（QBSDEs）の解の存在および一意性を確立する。Krylov型の事前推定および伊藤＝Krylov変数変換公式を導入し、可測生成子を持つQBSDEsおよび平方可積分な終値条件を満たす2次PDEの粘性解に対する新たな存在結果を得た。

ABSTRACT

In a first step, we establish the existence (and sometimes the uniqueness) of solutions for a large class of quadratic backward stochastic differential equations (QBSDEs) with continuous generator and a merely square integrable terminal condition. Our approach is different from those existing in the literature. Although we are focused on QBSDEs, our existence result also covers the BSDEs with linear growth, keepingsquare integrable in both cases. As byproduct, the existence of viscosity solutions is established for a class of quadratic partial differential equations (QPDEs) with a square integrable terminal datum. In a second step, we consider QBSDEs with measurable generator for which we establish a Krylov's type a priori estimate for the solutions. We then deduce an Ito-Krylov's change of variable formula. This allows us to establish various existence and uniqueness results for classes of QBSDEs with square integrable terminal condition and sometimes a merely measurable generator. Our results show, in particular, that neither the existence of expo- nential moments of the terminal datum nor the continuity of the generator are necessary to the existence and/or uniqueness of solutions for quadratic BSDEs. Some comparison theorems are also established for solutions of a class of QBSDEs.

研究の動機と目的

• 連続的または可測な生成子および平方可積分な終値条件を備えた2次BSDEsの解の存在および一意性を確立すること。
• QBSDE理論における標準的な仮定（終値条件の指数モーメントおよび生成子の連続性）を排除すること。
• 可測生成子を持つQBSDEsに対して、Krylov型の事前推定を導出すること。
• このような方程式に対して、伊藤＝Krylov型の変数変換公式を構築すること。
• L²終値データを備えた2次PDEのクラスに対する粘性解の存在を示すこと。

提案手法

• 連続的生成子およびL²終値データを持つQBSDEsのための、従来の手法とは異なる新規な存在証明アプローチ。
• 可測生成子を持つQBSDEsの解に対して、Krylov型の事前推定の確立。
• 最小限の積分可能性条件下での伊藤＝Kryロフ変数変換公式の導出。
• Krylov推定および変数変換公式を用いて、可測生成子を持つQBSDEsの存在および一意性の証明。
• 得られた結果を応用して、L²終値データを備えた2次PDEのクラスに対する粘性解の存在を確立。
• あるクラスのQBSDEsの解に対する比較定理の統合。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 終値条件の指数モーメントや生成子の連続性を仮定しないで、2次BSDEsの解が存在しうるか？
• RQ2 可測生成子およびL²終値データを持つQBSDEsに対して、どのような事前推定が可能か？
• RQ3 最小限の正則性条件下で、伊藤＝Krylov型の変数変換公式をどのように導出し、QBSDEsの文脈に応用できるか？
• RQ4 L²終値データのみを仮定した場合、2次PDEの粘性解の存在をどの程度まで確立できるか？
• RQ5 可測生成子を持つ2次BSDEsの解に対して、比較定理が成り立つ条件は何か？

主な発見

• 終値条件の指数モーメントを仮定せず、連続的生成子およびL²終値データを持つQBSDEsの解の存在が確立された。
• 可測生成子を持つQBSDEsに対して、Krylov型の事前推定が導出され、さらなる解析を可能にした。
• 最小限の積分可能性仮定の下で、QBSDEsに対して伊藤＝Krylov変数変換公式が証明された。
• L²終値データを備えた2次PDEのクラスに対する粘性解の存在が確立された。
• 可測生成子およびL²終値条件を備えたあるクラスのQBSDEsに対して、一意性および比較定理が得られた。
• 生成子の連続性や終値条件の指数モーメントが、解の存在または一意性のための必要条件でないことが示された。