[論文レビュー] Lucas' theorem: its generalizations, extensions and applications (1878--2014)

Romeo Meštrović|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2014

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ひとこと要約

2014年の包括的サーベイ論文は、組合せ論と数論の基礎的結果であるルーカスの定理について、130年以上にわたる研究を統合している。この定理は、素数を法とする二項係数を、p進展開を用いて計算する。論文は、ルーカスの定理を素数のべきに体系的に一般化し、$p$-ルーカス性および二重ルーカス性を導入し、フィボノミアル係数やガウスの$q$-ノミアル係数といった一般化された二項係数との関係を確立し、$p$-ルーカス性を有する代数的べき級数を、$(P(X))^{-1/s'}$の形をした有理型関数によって特徴づける。主な貢献は、多様な組合せ的数列にわたる合同式、代数的性、$p$-進構造の統合的枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

In 1878 É. Lucas proved a remarkable result which provides a simple way to compute the binomial coefficient ${n\choose m}$ modulo a prime $p$ in terms of the binomial coefficients of the base-$p$ digits of $n$ and $m$: {\it If $p$ is a prime, $n=n_0+n_1p+\cdots +n_sp^s$ and $m=m_0+m_1p+\cdots +m_sp^s$ are the $p$-adic expansions of nonnegative integers $n$ and $m$, then \begin{equation*} {n\choose m}\equiv \prod_{i=0}^{s}{n_i\choose m_i}\pmod{p}. \end{equation*}} The above congruence, the so-called {\it Lucas' theorem} (or {\it Theorem of Lucas}), plays an important role in Number Theory and Combinatorics. In this article, consisting of six sections, we provide a historical survey of Lucas type congruences, generalizations of Lucas' theorem modulo prime powers, Lucas like theorems for some generalized binomial coefficients, and some their applications. In Section 1 we present the fundamental congruences modulo a prime including the famous Lucas' theorem. In Section 2 we mention several known proofs and some consequences of Lucas' theorem. In Section 3 we present a number of extensions and variations of Lucas' theorem modulo prime powers. In Section 4 we consider the notions of the Lucas property and the double Lucas property, where we also present numerous integer sequences satisfying one of these properties or a certain Lucas type congruence. In Section 5 we collect several known Lucas type congruences for some generalized binomial coefficients. In particular, this concerns the Fibonomial coefficients, the Lucas $u$-nomial coefficients, the Gaussian $q$-nomial coefficients and their generalizations. Finally, some applications of Lucas' theorem in Number Theory and Combinatorics are given in Section 6.

研究の動機と目的

• 1878年から2014年までのルーカス型合同式およびその一般化について、歴史的かつ技術的な包括的サーベイを提供すること。
• 素数のべきを法とするルーカスの定理の理論を統一的かつ体系的に整理すること。これには、ウォルステンホルム型合同式や素数のべきを法とするルーカスの定理の変種が含まれる。
• 整数列および有理数列に対する$p$-ルーカス性および二重ルーカス性を定義し、それらを分析すること。
• フィボノミアル係数、ルーカス$u$-ノミアル係数、ガウスの$q$-ノミアル係数といった一般化された二項係数へのルーカス型定理の拡張。
• $\mathbb{Q}(X)$上での代数的べき級数で、無限個の素数$p$に対して$p$-ルーカス性を満たすものについての特徴づけを確立すること。

提案手法

• 整数$n = \sum n_i p^i$および$m = \sum m_i p^i$の$p$-進展開を用いて、$\binom{n}{m} \equiv \prod \binom{n_i}{m_i} \pmod{p}$を表す。これはルーカスの定理の根幹をなす。
• ウォルステンホルム型合同式や素数のべきを法とするルーカスの定理の変種を用いて、定理を$p^k$を法として拡張する。
• すべての$j$について$0 \leq j < p$を満たす整数列$(a_n)$に対して、$a_{pn+j} \equiv a_n a_j \pmod{p}$を満たすものとして、$p$-ルーカス性を定義する。
• $p$-進展開を用いて、$p$-ルーカス性を有する数列を特徴づける：$a_n \equiv \prod a_{n_i} \pmod{p}$。
• 形式的べき級数$F(X) = \sum a_n X^n$に$p$-ルーカス性を適用し、$\mathbb{Q}(X)$上での代数的性を研究する。
• 代数幾何学および$p$-進解析を用いて、形式的べき級数が$\mathbb{Q}(X)$上代数的であることの必要十分条件を証明する。その条件は、$F(X) = (P(X))^{-1/s'}$を満たすことである。ここで$P(X)$は$P(0) = 1$を満たし、有理係数多項式で次数が有界である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ルーカスの定理は、どのように素数のべきを法として一般化可能であり、その一般化の構造的性質は何か？
• RQ2 無限個の素数$p$に対して$p$-ルーカス性を満たす数列を特徴づける条件は何か？
• RQ3 フィボノミアル係数、ガウスの$q$-ノミアル係数などの一般化された二項係数のうち、どの係数がルーカス型合同式を満たすか？
• RQ4 有理係数を持つ形式的べき級数が$\mathbb{Q}(X)$上代数的であり、$p$-ルーカス性と両立する条件は何か？
• RQ5 すべての十分に大きな素数$p$に対して、代数的かつ$p$-ルーカス性を満たす形式的べき級数の正確な代数的構造は何か？

主な発見

• 中心的二項係数は$p$-ルーカス性を満たす：$n = \sum n_i p^i$に対して$\binom{2n}{n} \equiv \prod \binom{2n_i}{n_i} \pmod{p}$。
• 形式的べき級数$F(X) = \sum a_n X^n$が$\mathbb{Q}(X)$上代数的であり、すべての大きな素数$p \equiv 1 \pmod{s}$に対して$p$-ルーカス性を満たすための必要十分条件は、$F(X) = (P(X))^{-1/s'}$を満たすことである。ここで$P(X)$は次数が$s'$未満の有理係数多項式で$P(0) = 1$を満たす。
• 特に$s = 2$の場合、形式的べき級数が代数的であり、すべての大きな素数$p$に対して$p$-ルーカス性を満たすための必要十分条件は、$F(X) = (P(X))^{-1/2}$を満たすことである。ここで$P(X)$は次数が2未満の有理係数多項式で$P(0) = 1$を満たす。
• 数列$(a_n)$の$p$-ルーカス性は、$n$の$p$-進展開$n = \sum n_i p^i$に対して、すべての$n$について$a_n \equiv \prod a_{n_i} \pmod{p}$が成り立つことに等しい。
• 中心的二項係数$\binom{2n}{n}$は$p$-ルーカス性を満たす。この性質は、$t \geq 2$に対して$\sum \binom{2n}{n}^t X^n$の超越性を代数的証明で示す根拠となる。
• 整数環$\mathbb{Z}_p$に値をとる族$A(\mathbf{n})$が$p$-ルーカス性を満たすための条件は、すべての$\mathbf{n} \in \mathbb{N}^d$および$\mathbf{v} \in \{0,\dots,p-1\}^d$に対して$A(\mathbf{v} + \mathbf{n}p) \equiv A(\mathbf{v})A(\mathbf{n}) \pmod{p\mathbb{Z}_p}$が成り立つことである。この条件は、階乗比数列に対して効果的な判定基準を備えている。