[論文レビュー] Möbius transformation and a Cauchy family on the sphere

Shogo Kato, Peter McCullagh|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2015

Morphological variations and asymmetry参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、円周上の包絡Caウチ分布を拡張して、単位球面 $S^d$ 上の球面Caウチ分布を導入する。この分布族は球面上のモビウス変換に関して閉じており、変換後のパラメータは拡張されたモビウス写像によって与えられ、ステレオグラフィック射影を用いた多変量 $t$-分布族への変換により、取り扱いやすい推論が可能になる。主な貢献は、閉形式での推定器、尤度に基づく効率的推論、および統計的検定に有用なピボット分布の確立である。

ABSTRACT

We present some properties of a Cauchy family of distributions on the sphere, which is a spherical extension of the wrapped Cauchy family on the circle. The spherical Cauchy family is closed under the Möbius transformation on the sphere and there is a similar induced transformation on the parameter space. Stereographic projection transforms the the spherical Cauchy family into a multivariate $t$-family with a certain degree of freedom on Euclidean space. Many tractable properties of the spherical Cauchy are derived using the Möbius transformation and stereographic projection. A method of moments estimator and an asymptotically efficient estimator are expressed in closed form. The maximum likelihood estimation is also straightforward.

研究の動機と目的

• 方向データ解析を目的として、円周上の包絡Caウチ分布を $S^d$ 上の球面Caウチ族へと拡張すること。
• 球面上のモビウス変換に関して球面Caウチ族が閉じていること、およびパrameter空間への変換の性質を同定すること。
• ステレオグラフィック射影を用いて、球面Caウチ分布をユークリッド空間上のに多変量 $t$-族へと関連づけ、取り扱いやすい推論を可能にすること。
• 方法のモーメント法と漸近的に効率的な推定器を閉形式で導出し、直接的な最尤推定を可能にすること。
• 球面Caウチ分布とvon Mises–Fisher分布との間で、分布的性質および統計的有用性の観点から比較すること。

提案手法

• 球面 $S^d$ 上の球面Caウチ密度を $f(y;\mu,\rho) = \frac{\Gamma\{(d+1)/2\}}{2\pi^{(d+1)/2}} \left( \frac{1-\rho^2}{1+\rho^2 - 2\rho \mu^T y} \right)^d$ として定義する。ここで、位置パラメータ $\mu \in S^d$、集中度パラメータ $\rho \in [0,1)$ である。
• 球面 $S^d$ 上のモビウス変換を $\tilde{\cal M}_{R,\psi}(y) = R\left\{ \frac{1-\|\psi\|^2}{\|y+\psi\|^2}(y+\psi) + \psi \right\}$ で定義する。ここで $\psi \in \mathbb{R}^{d+1} \setminus S^d$ かつ $R \in SO(d+1)$ である。
• 球面Caウチ族がモビウス変換に関して不変であることを示し、パラメータ変換が $\mathbb{R}^{d+1}$ 上の拡張モビウス写像によって与えられることを示す。
• ステレオグラフィック射影を用いて、球面Caウチ分布を $\mathbb{R}^d$ 上の $d$ 自由度の多変量 $t$-分布へと写像し、尤度の等価性と推論の容易さを実現する。
• 方法のモーメント推定器と漸近的に効率的な推定器を閉形式で導出し、シミュレーション研究で後者が特定の状況で優れていることが示された。
• フィッシャー情報行列と最尤推定が容易であり、最尤推定値における対数尤度関数のヘッセ行列が負定値であることを示し、局所的最大性が保証され、パラメータへの収束が成立することを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 球面 $S^d$ 上の球面Caウチ族は、球面上のモビウス変換に関して閉じているか。また、パラメータ変換はどのように特徴づけられるか。
• RQ2 ステレオグラフィック射影は、球面Caウチ分布とユークリッド空間上のに多変量 $t$-族との間にどのような関係をもたらすか。
• RQ3 球面Caウチ分布に対して閉形式の推定器を導出可能か。また、有限標本における性能はいかがなっているか。
• RQ4 球面Caウチ分布は、変換不変性および尾部の挙動の観点から、von Mises–Fisher分布に比べてどのような統計的利点を有するか。
• RQ5 球面Caウチ分布の最尤推定器は計算的に取り扱いやすいか。また、漸近的に効率的であるか。

主な発見

• 球面Caウチ族は球面 $S^d$ 上のモビウス変換に関して閉じており、パラメータ変換は $\mathbb{R}^{d+1}$ 上の拡張モビウス写像によって与えられ、不変性に基づく推論が可能になる。
• ステレオグラフィック射影により、球面Caウチ分布は $\mathbb{R}^d$ 上の $d$ 自由度の多変量 $t$-分布に写像され、尤度が等価となり、取り扱いやすい推論が可能になる。
• 方法のモーメント推定器と漸近的に効率的な推定器は両方とも閉形式で表現可能であり、シミュレーション結果から後者が特定の状況で優れていることが示された。
• 最尤推定は容易であり、対数尤度関数のヘッセ行列が最尤推定値で負定値であることが保証されており、局所的最大性が成立し、真のパラメータへの収束が保証される。
• 球面Caウチ密度は、von Mises–Fisher分布と比較して、モードおよびアンチモード付近に高い確率質量を割り当て、赤道領域に低い確率質量を割り当てており、より重い尾部を持つ。
• フィッシャー情報行列は閉形式で計算可能であり、尤度は多変量 $t$-分布の尤度と等価であるため、推論および仮説検定が簡素化される。