[論文レビュー] Maass spaces on U(2,2) and the Bloch-Kato conjecture for the symmetric square motive of a modular form

Krzysztof Klosin|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、素数判別式をもつ虚二次体上の unitary 群 U(2,2) に対して、adelic Maass 空間を導入し、楕円尖点形式への Hecke 同変な降下を確立する。Maass 上昇と Maass 空間に直交するヘルミートモジュラー形式との合同式を用いて、対称平方モチーフ Symm²ρφ(k−3) および Symm²ρφ(k) に対する Bloch-Kato 猜測の証拠を提示し、unitary 群の設定において Harder 猜測の正則的類似を証明する。

ABSTRACT

Let K be an imaginary quadratic field of discriminant -D_K<0. We introduce a notion of an adelic Maass space S_{k, -k/2}^M for automorphic forms on the quasi-split unitary group U(2,2) associated with K and prove that it is stable under the action of all Hecke operators. When D_K is prime we obtain a Hecke-equivariant descent from S_{k,-k/2}^M to the space of elliptic cusp forms S_{k-1}(D_K, χ_K), where χ_K is the quadratic character of K. For a given ϕ\in S_{k-1}(D_K, χ_K), a prime l >k, we then construct (mod l) congruences between the Maass form corresponding to ϕand hermitian modular forms orthogonal to S_{k,-k/2}^M whenever the l-adic valuation of L^{alg}(\Sym^2 ϕ, k) is positive. This gives a proof of the holomorphic analogue of the unitary version of Harder's conjecture. Finally, we use these congruences to provide evidence for the Bloch-Kato conjecture for the motives \Sym^2 ρ_ϕ(k-3) and \Sym^2 ρ_ϕ(k), where ρ_ϕ denotes the Galois representation attached to ϕ.

研究の動機と目的

• 素数判別式をもつすべての虚二次体への、対称平方モチーフに関する Bloch-Kato 猜測の既存結果の拡張。
• Q(i) のような類数 1 の体に依存する従来の手法の制限を克服すること。
• U(2,2) 上の自動形式から楕円尖点形式への Hecke 同変な降下を構成すること。
• Maass 上昇と Maass 空間に対して直交する形式との合同式を用いて、Selmer 群に属する元を生成すること。
• Selmer 群の評価値を用いて、Symm²ρφ(k−3) および Symm²ρφ(k) に対する Bloch-Kato 猜測の証拠を提供すること。

提案手法

• すべての Hecke 演算子に対して安定である adelic Maass 空間 S_{k,−k/2}^M を U(2,2)(A) 上に導入する。
• L-値と自動表現空間内の内積を関連付ける Rankin-Selberg 型の公式を証明する。
• adelic Maass 空間から楕円尖点形式の空間 S_{k−1}(D_K, χ_K) への Hecke 同変な降下を構成する。
• val_ℓ(L^alg(Symm²φ, k)) > 0 のとき、φ の Maass 上昇と Maass 空間に対して直交するヘルミートモジュラー形式との ℓ を法とする合同式を構成する。
• Urban の手法を適用し、ガロアコhomologyにおける非分裂拡大を構成し、その合同式から H¹_f(K, W) の部分加群を生成する。
• U(2,2) 上の非 CAP 尖点自動形式に対応するガロア表現が絶対的単純であるという仮定に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高ランク群上の自動形式間の合同式を用いて、対称平方モチーフに関する Bloch-Kato 猜測を支持できるか？
• RQ2 素数判別式をもつ虚二次体に対して、U(2,2) 上の自動形式から楕円尖点形式への Hecke 同変な降下は存在するか？
• RQ3 Maass 上昇と直交する形式との合同式を用いて、unitary 群の設定において Harder 猜測の正則的類似を証明できるか？
• RQ4 類数 1 の体を超える範囲へ、高ランク自動形式における合同式の手法をどの程度一般化できるか？
• RQ5 Selmer 群の評価値と、対称平方モチーフの特別 L-値との関係は何か？

主な発見

• adelic Maass 空間 S_{k,−k/2}^M はすべての Hecke 演算子の作用に対して安定であり、U(2,2) 上の自動形式の体系的解析を可能にする。
• D_K が素数であるとき、S_{k,−k/2}^M から S_{k−1}(D_K, χ_K) への Hecke 同変な降下が確立される。
• val_ℓ(L^alg(Symm²φ, k)) > 0 のとき、φ の Maass 上昇と Maass 空間に対して直交する形式との ℓ を法とする合同式が構成される。
• これらの合同式により、ガロアコhomologyにおける非分裂拡大が得られ、Maass 理想の局所 Hecke 環における指数に等しいサイズの H¹_f(K, W) の部分加群が生成される。
• Selmer 群 H¹_f(K, W) の位数の評価値が、val_ℓ(#H¹_f(K, W)) ≥ val_ℓ(#H^NM,χ_m_φ / Φ_m_φ(Ann(f_φ,χ))) を満たし、Bloch-Kato 猜測の証拠が得られる。
• 追加の仮定のもとで、val_ℓ(#H¹_f(K, W)) ≥ val_ℓ(#O/L^int(Symm²φ, k)) が成り立ち、Selmer 群の位数が L-値イデアルに含まれることを支持する。